Autovalori
Un esercizio chiede di trovare gli autovalori di $ f $ dati vettori $ v_1=(1,1,1) $ , $ v_2=(2,0,1) $, $ v_3=(1,1,3) $, e con $ f(v_1)=3v_1 $, $ f(v_2)=2v_2 $, e $ f(v_3)=2v_3+2v_2 $.
Ora la matrice rispetto alla base $ {v_1,v_2,v_3} $ è $D= ((3,0,0),(0,2,2),(0,0,2)) $
E l'esercizio conclude dicendo che poiché D é triangolare superiore gli autovalori sono quelli della diagonale.
Ma è stato detto nella consegna che $ f(v_3)=2v_3+2v_2 $ ma allora come fa 2 a essere autovalore di $f$ relativo a $v_3$?
Per definizione l'autovalore di $v_3$ è 2 se $ f(v_3)=2v_3 $ cosa che invece per ipotesi non è perché è stato posto invece $ f(v_3)=2v_3+2v_2 $
Ora la matrice rispetto alla base $ {v_1,v_2,v_3} $ è $D= ((3,0,0),(0,2,2),(0,0,2)) $
E l'esercizio conclude dicendo che poiché D é triangolare superiore gli autovalori sono quelli della diagonale.
Ma è stato detto nella consegna che $ f(v_3)=2v_3+2v_2 $ ma allora come fa 2 a essere autovalore di $f$ relativo a $v_3$?
Per definizione l'autovalore di $v_3$ è 2 se $ f(v_3)=2v_3 $ cosa che invece per ipotesi non è perché è stato posto invece $ f(v_3)=2v_3+2v_2 $
Risposte
ma $2$ è autovalore perchè $f(v_2)=2v_2$
Il determinante è $(3-lambda)(2-lambda)^2$, questo significa che l'autovalore 2 ha molteplicità algebrica doppia
($Alg(2)=2$), cioè che annulla due volte il polinomio caratteristico.
($Alg(2)=2$), cioè che annulla due volte il polinomio caratteristico.
Si col calcolo del polinomio caratteristico so come si fa, il punto è che la soluzione dell'esercizio dice automaticamente che 2 è autovalore con molteplicità 2 direttamente dalla matrice D senza calcolare il polinomio caratteristico. Allora che 2 sia autovalore perché $f(v_2)=2v_2$ ok ma questo non mi può garantire che la sua molteplicità sia 2. Invece nell'esercizio si dice che esso ha molteplicità 2 senza calcolo del polinomio caratteristico ma semplicemente dalla matrice D che è triangolare superiore ma non è diagonale! A quanto mi risulta i termini sulla diagonale di una matrice si può affermare che ne siano gli autovalori solo se questa è diagonale non basta sia triangolare o sbaglio?
Non bisognerebbe calcolare il polinomio caratteristico?
Non bisognerebbe calcolare il polinomio caratteristico?
ti ha già risposto gold d roger
si vede ad occhio che il determinante di $D-lambdaI$ è uguale a $(2-lambda)^2(3-lambda)$ visto che
$D-lambdaI= ( ( 3-lambda , 0 , 0 ),( 0 , 2-lambda , 2 ),( 0, 0 , 2-lambda ) ) $
si vede ad occhio che il determinante di $D-lambdaI$ è uguale a $(2-lambda)^2(3-lambda)$ visto che
$D-lambdaI= ( ( 3-lambda , 0 , 0 ),( 0 , 2-lambda , 2 ),( 0, 0 , 2-lambda ) ) $
giusto scusate, mi era sfuggito che D essendo simile alla matrice rispetto alle basi canoniche ha gli stessi autovalori e quindi si può fare il polinomio caratteristico anche di D e non necessariamente della matrice rispetto le basi canoniche, grazie delle risposte
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