Autovalori
Buongiorno a tutti! Qualcuno saprebbe fornirmi un metodo pratico, sostanzialmente una specie di schemino, per calcolare gli autovalori di una generica matrice?
Grazie
Grazie
Risposte
Ciao,
gli autovalori sono le radici del polinomio caratteristico, cioè le radici del determinante di \[A-\lambda I\]
gli autovalori sono le radici del polinomio caratteristico, cioè le radici del determinante di \[A-\lambda I\]
Quindi è sufficiente: calcolare $ lambda I $ , dove $ I $ è la matrice identità, calcolarne il determinante e trovarne poi le radici?
No, non $\lambda I$, ma $A-\lambda I$. Se mai prova a postare un esempio che non ti torna.
Ne approfitto per postare un esempio così da chiarire anche a me qualche dubbio:
M = $((3/5,3/5,1/5),(4/5,-1/5,-2/5),(4/5,4/5,-7/5))$
Bisogna calcolare le radici del determinante di:
$M-\lambda I$ =$((3/5-\lambda,3/5,1/5),(4/5,-1/5-\lambda,-2/5),(4/5,4/5,-7/5-\lambda))$
Solo che non vedo un modo per azzerare qualche elemento e procedere con la regola di Laplace e quindi mi ritrovo a fare un sacco di calcoli sbagliando spesso :\
M = $((3/5,3/5,1/5),(4/5,-1/5,-2/5),(4/5,4/5,-7/5))$
Bisogna calcolare le radici del determinante di:
$M-\lambda I$ =$((3/5-\lambda,3/5,1/5),(4/5,-1/5-\lambda,-2/5),(4/5,4/5,-7/5-\lambda))$
Solo che non vedo un modo per azzerare qualche elemento e procedere con la regola di Laplace e quindi mi ritrovo a fare un sacco di calcoli sbagliando spesso :\
Ciao e benvenuto sul forum!
Sì in effetti non ci sono particolari trucchi, quindi... Sarrus e un po' di pazienza (e tanta attenzione)!
PS. Il determinante di quella matrice viene $$-\lambda^3-\lambda^2+\lambda+1 = -\left(\lambda-1\right)\left(\lambda+1\right)^2$$
Sì in effetti non ci sono particolari trucchi, quindi... Sarrus e un po' di pazienza (e tanta attenzione)!
PS. Il determinante di quella matrice viene $$-\lambda^3-\lambda^2+\lambda+1 = -\left(\lambda-1\right)\left(\lambda+1\right)^2$$
Ho impiegato circa mezz'ora ma alla fine è uscito così come avevi detto.. (all'esame sarà una perdita enorme di tempo t.t)
Gli autovalori sono quindi $\lambda = 1$ e $\lambda = -1$ con m.a. = 1 di entrambi.
p.s.: per l'esercizio che sto svolgendo posso affermare che si tratta di una matrice simile a una matrice diagonale perché gli autovalori sono distinti, giusto?
Gli autovalori sono quindi $\lambda = 1$ e $\lambda = -1$ con m.a. = 1 di entrambi.
p.s.: per l'esercizio che sto svolgendo posso affermare che si tratta di una matrice simile a una matrice diagonale perché gli autovalori sono distinti, giusto?
No, l'autovalore $\lambda = -1$ ha molteplicità algebrica pari a $2$, quindi dovrai calcolare la sua molteplicità geometrica e proseguire con la verifica di diagonalizzabilità.
Mi è venuta in mente una cosa da aggiungere: quando sei arrivato alla matrice che hai indicato come $M-\lambda I$ puoi moltiplicare tutti gli elementi (i.e. tutte le righe) per $5$, in modo da eliminare molte frazioni. Quindi calcoli il determinante e, alla fine, lo dividi per $125$, ovvero $5\cdot 5\cdot 5$ (un $5$ per ogni riga).
Addirittura, visto che ti interessa quando questo determinante si annulla, potresti anche evitare la divisione per $125$, che è comunque comoda per semplificare.
Addirittura, visto che ti interessa quando questo determinante si annulla, potresti anche evitare la divisione per $125$, che è comunque comoda per semplificare.
Sì infatti avrei tentato quella strada se non fossi stato così insicuro riguardo poi le implicazioni sul determinante. Ora è più chiaro. Grazie.
Andando leggermente OT approfitto per chiederti se è giusto verificare che m.g(-1) = 3 - rango(M) = 3 - 3 = 0 e quindi non è diagonalizzabile.
Andando leggermente OT approfitto per chiederti se è giusto verificare che m.g(-1) = 3 - rango(M) = 3 - 3 = 0 e quindi non è diagonalizzabile.
Il rango di $M+I$ non è $3$ e d'altra parte non potrebbe nemmeno esserlo, dato che abbiamo detto che il suo determinante è nullo. 
La matrice $M+I$ ha rango pari a $2$ (prova a verificare). Quindi cosa possiamo concludere?

La matrice $M+I$ ha rango pari a $2$ (prova a verificare). Quindi cosa possiamo concludere?
Oddio è vero! Quanto sto impazzendo! Quindi m.g(-1)=1 e siccome m.g.(-1) < m.a.(-1) allora non è diagonalizzabile.
Esatto!
