Autovalore uguale a zero!
Salve! stavo studiando geometria e mi è capitato uno strano esercizio! praticamente ho questa matrice:
$ ((4,1,-2),(-3,0,2),(0,0,1))\ $
facendo i vari passaggi trovo gli autovalori che sono:
$ \lambda\ $ 1= 0;
$ \lambda\ $ 2= 4;
$ \lambda\ $ 3 e 4= 1;
ora io so che per definizione un autovalore non può essere nullo ma ho controllato più volte i calcoli e sembrano esatti! il mio dilemma è che quell'autovalore (insieme a tutti gli altri) generano autovettori nulli e quindi un autospazio nullo! ma sempre per definizione un autospazio non può essere formato da vettori nulli! quindi quella matrice non genera alcun autospazio in $ \RR\ $ 3 vero di conseguenza tutti e tre i vettori di quella matrice non generano alcun autospazio di $ \RR\ $ 3 (anche presi singolarmente) giusto?
ps...la dimensione di qualcosa che all'interno ha solo il vettore nullo è zero vero (Es. ker(t)=(0,0,0))?
è la prima volta che scrivo e non vorrei aver commesso errori! in tal caso mi scuso in anticipo!
$ ((4,1,-2),(-3,0,2),(0,0,1))\ $
facendo i vari passaggi trovo gli autovalori che sono:
$ \lambda\ $ 1= 0;
$ \lambda\ $ 2= 4;
$ \lambda\ $ 3 e 4= 1;
ora io so che per definizione un autovalore non può essere nullo ma ho controllato più volte i calcoli e sembrano esatti! il mio dilemma è che quell'autovalore (insieme a tutti gli altri) generano autovettori nulli e quindi un autospazio nullo! ma sempre per definizione un autospazio non può essere formato da vettori nulli! quindi quella matrice non genera alcun autospazio in $ \RR\ $ 3 vero di conseguenza tutti e tre i vettori di quella matrice non generano alcun autospazio di $ \RR\ $ 3 (anche presi singolarmente) giusto?
ps...la dimensione di qualcosa che all'interno ha solo il vettore nullo è zero vero (Es. ker(t)=(0,0,0))?
è la prima volta che scrivo e non vorrei aver commesso errori! in tal caso mi scuso in anticipo!
Risposte
Ciao,
ci deve essere stato qualche problema nei calcoli perchè gli autovalori sono $lambda = 3$ con m.a.$=1$ e $lambda = 1$ con m.a. $=2$
Vediamo i calcoli: la matrice della quale dobbiamo calcolare il determinante è
\[
\left (
\begin{array}{ccc}
4 - \lambda & 1 & -2 \\
-3 & -\lambda & 2 \\
0 & 0 & 1 - \lambda
\end{array}
\right )
\]
Calcoliamo questo determinante, ad esempio con la regola di Sarrus o anche sviluppando secondo l'ultima riga, e troviamo $- lambda^3 + 5lambda^2 - 7lambda + 3$.
Lo uguagliamo a zero e otteniamo $- lambda^3 + 5lambda^2 - 7lambda + 3 = 0 rarr lambda^3 - 5lambda^2 + 7lambda - 3 = 0$
Il polinomio si abbassa di grado con Ruffini, dopo aver notato che si annulla per $lambda = 1$.
Scomponendo otteniamo $(lambda-1)(lambda^2 - 4lambda + 3) = 0 rArr (lambda-1)(lambda-1)(lambda-3)=0$ da cui le soluzioni.
ci deve essere stato qualche problema nei calcoli perchè gli autovalori sono $lambda = 3$ con m.a.$=1$ e $lambda = 1$ con m.a. $=2$
Vediamo i calcoli: la matrice della quale dobbiamo calcolare il determinante è
\[
\left (
\begin{array}{ccc}
4 - \lambda & 1 & -2 \\
-3 & -\lambda & 2 \\
0 & 0 & 1 - \lambda
\end{array}
\right )
\]
Calcoliamo questo determinante, ad esempio con la regola di Sarrus o anche sviluppando secondo l'ultima riga, e troviamo $- lambda^3 + 5lambda^2 - 7lambda + 3$.
Lo uguagliamo a zero e otteniamo $- lambda^3 + 5lambda^2 - 7lambda + 3 = 0 rarr lambda^3 - 5lambda^2 + 7lambda - 3 = 0$
Il polinomio si abbassa di grado con Ruffini, dopo aver notato che si annulla per $lambda = 1$.
Scomponendo otteniamo $(lambda-1)(lambda^2 - 4lambda + 3) = 0 rArr (lambda-1)(lambda-1)(lambda-3)=0$ da cui le soluzioni.
ecco mi sembrava strano! 
grazie mille per la risposta! 
un ultima cosa, le uniche componenti di un vettore (esempio) di R3 che non appartengono ad un autospazio è il solo vettore nullo vero (0,0,0)?
grazie mille per la risposta! un ultima cosa, le uniche componenti di un vettore (esempio) di R3 che non appartengono ad un autospazio è il solo vettore nullo vero (0,0,0)?
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