Autovalore e diagonalizzabilità di una matrice.

[BRN1]

Ciao a tutti,
sono alle prese con questo esercizio che non saprei bene come risolvere.

Si consideri la matrice reale

$ A=( ( 34 , 15 , 63 ),( 27 , 22 , 63 ),( 27 , 15 , 70 ) ) $

a) Verificare che $7$ è un autovalore di $A$ e trovare le sue molteplicità algebrica e geometrica (non è necessario calcolare il polinomio caratteristico).
b) Dimostrare che $A$ è diagonalizzabile.

a) Data la definizione di autovalore, per un generico vettore deve valere $F(v)=lambda v$. Quindi, se considero ad esempio il vettore $(1,1,1)$, posso dire che:

$F(((1),(1),(1)))=( ( 34 , 15 , 63 ),( 27 , 22 , 63 ),( 27 , 15 , 70 ) ) ((1),(1),(1))=((112),(112),(112))=7((16),(16),(16))$

da cui deduco che la molteplicità geometrica sia pari a 1.

Ma come posso stabilire la molteplicità algebrica senza calcolare il polinomio caratteristico?

Qualcuno mi darebbe qualche idea?
Grazie!

[Magma1]

"BRN":
se considero ad esempio il vettore $ (1,1,1) $, posso dire che:

$ F(((1),(1),(1)))=( ( 34 , 15 , 63 ),( 27 , 22 , 63 ),( 27 , 15 , 70 ) ) ((1),(1),(1))=((112),(112),(112))=7((16),(16),(16)) $

Mhmm... io direi più che l'autovalore sia $112$ e l'autovettore $((1),(1),(1))$

"BRN":
da cui deduco che la molteplicità geometrica sia pari a 1.

Da cosa lo dedurresti?

"BRN":
Data la definizione di autovalore, per un generico vettore deve valere $ F(v)=lambda v $

In questo caso sarebbe più opportuno considerare $F$ come $F:=L_A:=Av$, dove $A$ è la matrice rappresentativa di $F$.
Per definizione $lambda$ è autovalore per $F:=L_A$ se

$L_A(v)=lambdav hArr L_A(v)-lambdav=bar(0) hArr Av-lambdav=bar(0) hArr (A-lambdaI)v=bar(0)$

per cui

$[( ( 34 , 15 , 63 ),( 27 , 22 , 63 ),( 27 , 15 , 70 ) )-7((1,0,0),(0,1,0),(0,0,1) )]((x),(y),(z))=((0),(0),(0)) $


$hArr ( ( 27 , 15 , 63 ),( 27 , 15 , 63 ),( 27 , 15 , 63 ) )((x),(y),(z))=((0),(0),(0)) $

ovvero si tratta di $1$ equazione in $3$ incognite, per cui si hanno $oo^2$ soluzioni. Ciò significa che l'autovalore $7$ ha due autovettori e $g(7)=2$[nota]:idea: Se hai buona memoria: $g(lambda)=n-r(A-lambdaI_n)$, dove $n=dim(V)$, $V$ sottospazio, $A$ matrice rappresentativa dell'operatore lineare, $I_n$ la matrice identità di ordine $n$[/nota].

[BRN1]

"Magma":

[quote="BRN"]
da cui deduco che la molteplicità geometrica sia pari a 1.

Da cosa lo dedurresti?
[/quote]

Ops! hai ragione, ho scritto una fesseria... Non ho tenuto conto del sistema che presenta due incognite libere.

Però continuo a non capire come si possa risalire alla molteplicità algebrica senza passare per il polinomio caratteristico.

[Magma1]

"BRN":

Però continuo a non capire come si possa risalire alla molteplicità algebrica senza passare per il polinomio caratteristico.

Vale la seguente disuguaglianza

$1<=g(lambda)<=alg(lambda)<=dim(V)$

essendo $g(7)=2$, abbiamo che

$g(7)=2<=Alg(7)<=3=dim(V)$

avendo trovato che esiste anche l'autovalore $112$, $Alg(7) ne 3 rArr Alg(7)=2$.

Inoltre $F$ è diagonalizzabile perché

$dim(V_7(F))+dim(V_112(F))=dim(V)$

[BRN1]

"Magma":

$g(7)=2<=Alg(7)<=3=dim(V)$

Giusto, non c'avevo proprio pensato...

Grazie mille Magma!!!