Autovalore
Come si fa a trovare autovalori e autrospazi di una matrice?
Ad esempio quali sono gli autovalori e gli autospazi di:
A= $((2,sqrt5),(sqrt5,0))$
Ad esempio quali sono gli autovalori e gli autospazi di:
A= $((2,sqrt5),(sqrt5,0))$
Risposte
In sintesi, gli autovalori $lambda$ di una matrice $A$ sono tutti quei numeri reali tali che $|A-lambda*I|=0$, dove $I$ è la matrice identità.
Mi riuscite a fare un esempio, non riesco a capire...
Prendo proprio la tua matrice:
$A=((2,sqrt5),(sqrt5,0))=> A-lambda*I=((2,sqrt5),(sqrt5,0))-lambda*((1,0),(0,1))=((2,sqrt5),(sqrt5,0))-((lambda,0),(0,lambda))=((2-lambda,sqrt5),(sqrt5,-lambda))$
Calcoliamone il determinante: $|A-lambda*I|=|(2-lambda,sqrt5),(sqrt5,-lambda)|=(2-lambda)(-lambda)-sqrt5*sqrt5=lambda^2-2lambda-5$
Ora, imponiamolo uguale a $0$: $lambda^2-2lambda-5=0$
Questa è una equazione di secondo grado: $Delta=4+20=24$
$lambda_(1,2)=(2+-sqrt(24))/2=> lambda_1=(2+sqrt(24))/2=(2+2sqrt6)/2=1+sqrt6$; $lambda_2=1-sqrt6$
Ecco: abbiamo due autovalori: $lambda_1=1+sqrt6$ e $lambda_2=1-sqrt6$
$A=((2,sqrt5),(sqrt5,0))=> A-lambda*I=((2,sqrt5),(sqrt5,0))-lambda*((1,0),(0,1))=((2,sqrt5),(sqrt5,0))-((lambda,0),(0,lambda))=((2-lambda,sqrt5),(sqrt5,-lambda))$
Calcoliamone il determinante: $|A-lambda*I|=|(2-lambda,sqrt5),(sqrt5,-lambda)|=(2-lambda)(-lambda)-sqrt5*sqrt5=lambda^2-2lambda-5$
Ora, imponiamolo uguale a $0$: $lambda^2-2lambda-5=0$
Questa è una equazione di secondo grado: $Delta=4+20=24$
$lambda_(1,2)=(2+-sqrt(24))/2=> lambda_1=(2+sqrt(24))/2=(2+2sqrt6)/2=1+sqrt6$; $lambda_2=1-sqrt6$
Ecco: abbiamo due autovalori: $lambda_1=1+sqrt6$ e $lambda_2=1-sqrt6$
grazie mille, gentilissimo...e per gli autospazi cosa devo fare?
In generale, l'autospazio relativo ad un autovalore $bar(lambda)$ è lo spazio formato da tutti e soli i vettori $x$ tali che $Ax=bar(lambda)x$
Dunque $Ax-bar(lambda)x=0=> (A-bar(lambda)*I)*x=0$.
Quindi il problema si riduce a trovare il nucleo della matrice $A-bar(lambda)I$
Ok?
Dunque $Ax-bar(lambda)x=0=> (A-bar(lambda)*I)*x=0$.
Quindi il problema si riduce a trovare il nucleo della matrice $A-bar(lambda)I$
Ok?
Cosa intendi per nucleo della matrice?
Il nucleo di una generica matrice $B$ è l'insieme dei vettori $v$ tali che $B*v=0$
cioè devo trovare i valori che annullano la mia matrice? come posso fare?
Abbiamo trovato i due autovalori: $lambda_1=1+sqrt6$ e $lambda_2=1-sqrt6$. Come diventano le matrici?
$ A-lambda_1*I=((2,sqrt5),(sqrt5,0))-lambda_1*((1,0),(0,1))=((2,sqrt5),(sqrt5,0))-((1+sqrt6,0),(0,1+sqrt6))=((1-sqrt6,sqrt5),(sqrt5,-1-sqrt6))$
$ A-lambda_2*I=((2,sqrt5),(sqrt5,0))-lambda_2*((1,0),(0,1))=...=((1+sqrt6,sqrt5),(sqrt5,-1+sqrt6))$
Partiamo dalla prima:$ A-lambda_1*I=((1-sqrt6,sqrt5),(sqrt5,-1-sqrt6))$.
Bisogna trovare tutti i possibili vettori $x=(x_1,x_2) in RR^2$ tali che $(A-lambda_1*I)*x=0$, cioè $((1-sqrt6,sqrt5),(sqrt5,-1-sqrt6))*((x_1),(x_2))=((0),(0))$ Quali sono?
$ A-lambda_1*I=((2,sqrt5),(sqrt5,0))-lambda_1*((1,0),(0,1))=((2,sqrt5),(sqrt5,0))-((1+sqrt6,0),(0,1+sqrt6))=((1-sqrt6,sqrt5),(sqrt5,-1-sqrt6))$
$ A-lambda_2*I=((2,sqrt5),(sqrt5,0))-lambda_2*((1,0),(0,1))=...=((1+sqrt6,sqrt5),(sqrt5,-1+sqrt6))$
Partiamo dalla prima:$ A-lambda_1*I=((1-sqrt6,sqrt5),(sqrt5,-1-sqrt6))$.
Bisogna trovare tutti i possibili vettori $x=(x_1,x_2) in RR^2$ tali che $(A-lambda_1*I)*x=0$, cioè $((1-sqrt6,sqrt5),(sqrt5,-1-sqrt6))*((x_1),(x_2))=((0),(0))$ Quali sono?
Ma l'unico valore di x che annulla la matrice non è lo zero? altri numeri non ne trovo..
Ce ne sono altri, fai bene i calcoli. Devi risolvere il seguente sistema:
${((1-sqrt6)*x_1+sqrt5*x_2=0),(sqrt5*x_1+(-1-sqrt6)*x_2=0):}$
${((1-sqrt6)*x_1+sqrt5*x_2=0),(sqrt5*x_1+(-1-sqrt6)*x_2=0):}$
Non ci salto fuori con la scrittura delle formule(non riesco a fare le fratte), comunque:
$x_1$ =-$sqrt(5)$$x_2$/1 - $sqrt(6)$
$x_2$ = -$sqrt(5)$$x_1$/-1 - $sqrt(6)$
$x_1$ =-$sqrt(5)$$x_2$/1 - $sqrt(6)$
$x_2$ = -$sqrt(5)$$x_1$/-1 - $sqrt(6)$
Dovresti avere scritto:
${(x_1=-(sqrt5)/(1-sqrt6)x_2),(x_2=-(sqrt5)/(-1-sqrt6)x_1):}$, giusto?
Ma non è finita così. Mancano ancora dei passaggi.
La seconda equazione si può anche scrivere $x_2=(sqrt5)/(1+sqrt6)x_1$
Ora sostituiamo al posto di $x_1$ (nella seconda equazione) il valore $-(sqrt5)/(1-sqrt6)x_2$
Si ottiene: $x_2=(sqrt5)/(1+sqrt6)*[-(sqrt5)/(1-sqrt6)]*x_2$
Facendo i calcoli si arriva ad avere $x_2=x_2$, che è una identità. Quindi il sistema di partenza è equivalente a ${(x_1=-(sqrt5)/(1-sqrt6)x_2),(x_2=x_2):}$.
Dunque ci sono $oo^1$ soluzioni, di questo tipo: ${(x_1=-(sqrt5)/(1-sqrt6)*k),(x_2=k):}$, al variare di $k$ in $RR$. Ok?
Quindi tutti i vettori $x=(x_1,x_2)$ che verificano $(A-lambda_1*I)x=0$ sono di questo tipo: $x=( -(sqrt5)/(1-sqrt6)*k,k)$, con $k in RR$.
Ecco il primo autospazio: $V_1=Span({(-(sqrt5)/(1-sqrt6),1)})$
${(x_1=-(sqrt5)/(1-sqrt6)x_2),(x_2=-(sqrt5)/(-1-sqrt6)x_1):}$, giusto?
Ma non è finita così. Mancano ancora dei passaggi.
La seconda equazione si può anche scrivere $x_2=(sqrt5)/(1+sqrt6)x_1$
Ora sostituiamo al posto di $x_1$ (nella seconda equazione) il valore $-(sqrt5)/(1-sqrt6)x_2$
Si ottiene: $x_2=(sqrt5)/(1+sqrt6)*[-(sqrt5)/(1-sqrt6)]*x_2$
Facendo i calcoli si arriva ad avere $x_2=x_2$, che è una identità. Quindi il sistema di partenza è equivalente a ${(x_1=-(sqrt5)/(1-sqrt6)x_2),(x_2=x_2):}$.
Dunque ci sono $oo^1$ soluzioni, di questo tipo: ${(x_1=-(sqrt5)/(1-sqrt6)*k),(x_2=k):}$, al variare di $k$ in $RR$. Ok?
Quindi tutti i vettori $x=(x_1,x_2)$ che verificano $(A-lambda_1*I)x=0$ sono di questo tipo: $x=( -(sqrt5)/(1-sqrt6)*k,k)$, con $k in RR$.
Ecco il primo autospazio: $V_1=Span({(-(sqrt5)/(1-sqrt6),1)})$
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