Autovalore 0

[flosfloris]

ragazzi sapete dirmi perchè se
un'applicazione lineare non ha l'autovalore 0 allora l'applicazione è un automorfismo????????

[_Tipper]

Perché il ker coincide con lo spazio nullo (con automorfismo intendi che è invertibile, vero?).

[flosfloris]

si un automorfismo non è altro che un isomorfismo di una struttura algebrica su se stessa.. ma nnon ho capito il collegamento che tu mi fai con il ker....puoi spiegarlo meglio??

[_Tipper]

Il succo del discorso è dimostrare che se $0$ non è autovalore di una matrice, o di un'applicazione lineare, tanto è la stessa cosa, allora il ker coincide con lo spazio nullo, e quindi l'applicazione è iniettiva.

Allora, data un'applicazione lineare $\phi$, rappresentata da una matrice $A$, l'autospazio relativo all'autovalore $\lambda_i$ è dato da $\ker(A - \lambda_i)$, e un autospazio contiene tutti gli autovettori relativi a quell'autovalore più il vettore nullo.

Se $\lambda_i = 0$, ovvero se $0$ è autovalore, allora $\ker(A- \lambda_i) = \ker(A)$, quindi il ker coincide con l'autospazio relativo all'autovalore $0$. Ma un autospazio non può coincidere con lo spazio nullo, quindi, se $0$ è autovalore allora il ker non può essere lo spazio nullo, e l'applicazione non è iniettiva

[flosfloris]

ti ringrazio tantissimo..
sei veramente bravissimo grazie milleeeee
hai salvato un mio esame