Autospazio

[megaempire]

Perché in un autospazio vi è almeno un vettore non nullo? cioè io so che un Autospazio è uno spazio vettoriale ma uno insieme contente solo il vettore non nullo è sottospazio vettoriale...
modifico il posto :
prova a darmi da solo la risposta : è per come è definito l'auto valore?

[Pappappero1]

Non proprio. E' per la definizione di autovettore: data $f: V \to W$ applicazione lineare, un autovettore di $f$ è un vettore NON NULLO $v \in V$ tale che $f(v) = \lambda v$ per qualche $\lambda$ nel campo. Dal momento che un autospazio contiene almeno un autovettore, e quell'autovettore è non nullo per definizione di autovettore, allora l'autospazio contiene almeno un vettore non nullo.

[megaempire]

grazie mille

[vict85]

Tutto dipende un po’ da come si considera il tutto. Avrebbe completamente senso partire dagli autospazi come \(\displaystyle \ker(f - \lambda I) \) e chiamare autovalori i valori per cui gli autospazi corrispondenti non sono banali o alternativamente la funzione \(\displaystyle f - \lambda I \) non è invertibile. Alcuni libri di teoria spettrale preferiscono questo approccio.

[megaempire]

allora ho fatto le mie riflessioni :
auto vettore = $\vec v != 0 | f(\vec v ) = \lambda*\vec v$ ----> definizione di autovettore;
$\vec v != 0 | f(\vec v ) - \lambda*\vec v = \vec 0$ ----> spostando tutto a sinistra
applico ad $ \vec v != 0 | f(\vec v ) - \lambda*\vec v = \vec 0 $ la funzione identità e arrivo dove sei arrivato tu cioè :
$(f-\lambda*i)(\vec v) = \vec 0$ ma chiediamo che il vettore sia diverso da zero per cui...

[vict85]

Gli autospazi contengono il vettore nullo, altrimenti non sarebbero sottospazi.

[megaempire]

allora devo togliere la richiesta $vec v != 0$?

[vict85]

"megaempire":allora devo togliere la richiesta $vec v != 0$?

Non si parla mai di autovettore nel caso di $v= 0$; ha poco senso. Semplicemente unisci lo 0 quando definisci l'autospazio.

[Pappappero1]

Ma dire che l'autospazio è il $ker$ di $f= A - \lambda I$ quando $f$ non è invertibile è giusto. Per definizione un $ker$ ha uno zero. Il fatto è che se si permettesse a $0$ di essere un autovettore, allora sarebbe autovettore di qualsiasi funzione e con qualsiasi autovalore, rendendo scomoda tutta una parte di teoria (non sbagliata, semplicemente scomoda).

Comunque equivalentemente io direi che:

- se $\lambda$ è autovalore di $A$, allora $\ker (A - \lambda I)$ si chiama autospazio di autovalore $\lambda$. Un qualunque $v$ non nullo in questo autospazio è detto autovettore di autovalore $\lambda$.
- se $\lambda$ è autovalore di $A$, allora ogni $v \neq 0$ tale che $A v = \lambda v$ si chiama autovettore di $A$ con autovalore $\lambda$ e il sottospazio generato da tutti gli autovettori di autovalore $\lambda$ si chiama autospazio di autovalore $\lambda$.

[megaempire]

ok ho capito...grazie