Autospazio

[peppe1992-votailprof]

Ciao a tutti ragazzi
devo trovare gli autospazi relativi agli autovalori
nel caso di questa matrice
$ | ( 1 , 0 , 1 ),( 0 , 0 , -2 ),( 0 , -2 , 0 ) | $

il polinomio caratteristico è

$ p(x)= -h(1-h)^2 $ che ha molteplicità algebrica 3
gli autovalori sono h1= 0 e h2=1
per h1 la matrice rimane quella di partenza
quindi il sistema lineare omogeneo sarà
$ { ( x+z=0 ),( -2z=0 ),( -2y=0):} $
ottenendo così
$ x=y=z=0 $
che conclusione posso dare? visto che un autospazio non può essere di dim= 0, ma almeno deve essere di dim =1
grazie in anticipo

[Emar1]

"peppuccio92":
$ p(x)= -h(1-h)^2 $ che ha molteplicità algebrica 3

Attenzione! Non significa nulla dire che il polinomio ha molteplicità 3. Il polinomio ha grado 3, ha uno zero con molteplicità 1, e uno con molteplicità 2. Un polinomio non ha molteplicità in se, sono le sue radici ad averla.

Detto ciò, Secondo me c'è un errore nel calcolo del polinomio e quindi degli autovalori. Prova a controllare meglio

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EDIT: Chiarisco. A parte il fatto che in questo caso il conto è sbagliato, in ogni caso non è possibile che un autospazio abbia dimensione minore di 1. Questo non può succedere mai.

Sarebbe un controsenso perchè se $\lambda$ è un autovalore di $A$ significa che la matrice $A - \lambda I$ ha determinante uguale a $0$ e quindi non ha rango massimo, ovvero $rank(A - \lambda I) < n$. Ma dato che la dimensione dell'autospazio relativo a $\lambda$ è semplicemente il $ker(A - \lambda I) = n - rank(A - \lambda I)$, l'unico modo in cui possiamo avere $ker(A - \lambda I) = 0$ è quando $rank(A - \lambda I) = n$ che è in contraddizione con quanto detto prima!
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PS Per calcolare la dimensione (ovvero il kernel della matrice) non occorre risolvere il sistema ma basta utilizzare il teorema di nullità più rango calcolando $ker(A) = n - rank(A)$