Autospazi e loro dimensione massima
Buongiorno ragazzi,
ho due dubbi.
la somma delle molteplicità geometriche (dim(Ker (A-LI)) per i=1...n) non può superare n visto che consideriamo autovettori di n componenti in R^n, e bene che vada il massimo sottospazio ottenibile sommando i vari autospazi V(i) è R^n stesso e una base di R^n ha al massimo n vettori l.i.. E' corretto?
Inoltre come mai gli autovettori (che possono essere presi come base per gli autospazi) sono tra loro l.i. di modo che se conglobati per colonna formano la matrice diagonalizzANTE P che è appunto invertibile, trattandosi di un cambio di base?
Non capisco come mai debba avvenire sempre questo fatto.
Non potrebbe accadere che degli autovettori che compongono le basi di autospazi diversi siano ridondanti? In tal caso sarebbe corretto dire che la somma "netta" (al netto di intersezioni) degli autospazi ha al più dimensione n...
grazie!
ho due dubbi.
la somma delle molteplicità geometriche (dim(Ker (A-LI)) per i=1...n) non può superare n visto che consideriamo autovettori di n componenti in R^n, e bene che vada il massimo sottospazio ottenibile sommando i vari autospazi V(i) è R^n stesso e una base di R^n ha al massimo n vettori l.i.. E' corretto?
Inoltre come mai gli autovettori (che possono essere presi come base per gli autospazi) sono tra loro l.i. di modo che se conglobati per colonna formano la matrice diagonalizzANTE P che è appunto invertibile, trattandosi di un cambio di base?
Non capisco come mai debba avvenire sempre questo fatto.
Non potrebbe accadere che degli autovettori che compongono le basi di autospazi diversi siano ridondanti? In tal caso sarebbe corretto dire che la somma "netta" (al netto di intersezioni) degli autospazi ha al più dimensione n...
grazie!
Risposte
Ciao!
Non proprio, l'ultima parte non è corretta: una base di uno spazio di dimensione $n$ è costituita necessariamente di $n$ vettori linearmente indipendenti.
Siano $f:V \to V$ un endomorfismo, $\mu, \lambda$ due autovalori distinti per $f$ e $V_\mu$ e $V_\lambda$ i relativi autospazi.
Adesso sia $v \in V_\mu nn V_\lambda$, allora $f(v) = \mu*v$ e $f(v) = \lambda*v$, ma quindi $f(0) = f(v - v) = f(v) - f(v) = \mu*v - \lambda*v = 0$, ovvero $(\mu - \lambda)v = 0$. Dato che $\mu, \lambda$ sono distinti allora segue necessariamente che $v = 0$ per cui gli autospazi hanno come intersezione ${0}$(cioè sono in somma diretta) e quindi non hanno vettori non banali in comunem, per cui le basi di autovettori degli autospazi non contengono autovettori "ridondanti".
Adesso: non ogni endomorfismo è diagonalizzabile, per cui non sempre lo spazio somma degli autospazi ha dimensione $n$, ma ciò è dovuto alla molteplicità geometrica degli autovalori, non ad una presunta ridondanza degli autovettori in più autospazi.
"al3xg":
Buongiorno ragazzi,
ho due dubbi.
la somma delle molteplicità geometriche (dim(Ker (A-LI)) per i=1...n) non può superare n visto che consideriamo autovettori di n componenti in R^n, e bene che vada il massimo sottospazio ottenibile sommando i vari autospazi V(i) è R^n stesso e una base di R^n ha al massimo n vettori l.i.. E' corretto?
Non proprio, l'ultima parte non è corretta: una base di uno spazio di dimensione $n$ è costituita necessariamente di $n$ vettori linearmente indipendenti.
Inoltre come mai gli autovettori (che possono essere presi come base per gli autospazi) sono tra loro l.i. di modo che se conglobati per colonna formano la matrice diagonalizzANTE P che è appunto invertibile, trattandosi di un cambio di base?
Non capisco come mai debba avvenire sempre questo fatto.
Non potrebbe accadere che degli autovettori che compongono le basi di autospazi diversi siano ridondanti? In tal caso sarebbe corretto dire che la somma "netta" (al netto di intersezioni) degli autospazi ha al più dimensione n...
grazie!
Siano $f:V \to V$ un endomorfismo, $\mu, \lambda$ due autovalori distinti per $f$ e $V_\mu$ e $V_\lambda$ i relativi autospazi.
Adesso sia $v \in V_\mu nn V_\lambda$, allora $f(v) = \mu*v$ e $f(v) = \lambda*v$, ma quindi $f(0) = f(v - v) = f(v) - f(v) = \mu*v - \lambda*v = 0$, ovvero $(\mu - \lambda)v = 0$. Dato che $\mu, \lambda$ sono distinti allora segue necessariamente che $v = 0$ per cui gli autospazi hanno come intersezione ${0}$(cioè sono in somma diretta) e quindi non hanno vettori non banali in comunem, per cui le basi di autovettori degli autospazi non contengono autovettori "ridondanti".
Adesso: non ogni endomorfismo è diagonalizzabile, per cui non sempre lo spazio somma degli autospazi ha dimensione $n$, ma ciò è dovuto alla molteplicità geometrica degli autovalori, non ad una presunta ridondanza degli autovettori in più autospazi.
Si hai ragione, scusate la sciocchezza: uno spazio di dimensione n ha n vettori per ogni sua base, né di più né di meno!
Per l'altra questione era proprio ciò che volevo chiarire: hai risolto il mio dubbio! Grazie : )
Per l'altra questione era proprio ciò che volevo chiarire: hai risolto il mio dubbio! Grazie : )
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