Autospazi e Kerf
Stavo studiando gli autospazi relativi ad un endomorfismo e ho capito che non mi è chiara la definizione di autospazio.
Esso sarebbe $Vlambda=Ker(lambda id -f)$ . Dunque so che $f(v)=lambdav \Rightarrow f(v)-lambdav=0 \Rightarrow ( lambdaid - f)v=0 $ Arrivata a questo punto non capisco perchè da quel prodotto venga definita un'applicazione $ lambdaid-f : V \Rightarrow V t.c. v \rightarrow lambdav-fv \Leftrightarrow v in Ker(lambdaid-f)$
Questo mi dice che i vettori di partenza (essendo endomorfismo sono gli stessi d'arrivo) sono linearmente dipendenti per un qualche $lambda$ , quindi appartengono al ker. Quindi l'autospazio è un sottospazio del ker relativo ad un valore specifico?
Esso sarebbe $Vlambda=Ker(lambda id -f)$ . Dunque so che $f(v)=lambdav \Rightarrow f(v)-lambdav=0 \Rightarrow ( lambdaid - f)v=0 $ Arrivata a questo punto non capisco perchè da quel prodotto venga definita un'applicazione $ lambdaid-f : V \Rightarrow V t.c. v \rightarrow lambdav-fv \Leftrightarrow v in Ker(lambdaid-f)$
Questo mi dice che i vettori di partenza (essendo endomorfismo sono gli stessi d'arrivo) sono linearmente dipendenti per un qualche $lambda$ , quindi appartengono al ker. Quindi l'autospazio è un sottospazio del ker relativo ad un valore specifico?
Risposte
"vivi96":
Arrivata a questo punto non capisco perchè da quel prodotto venga definita un'applicazione
Di quale prodotto parli?
Quando sono a $ f(v)-lambdav=0$ il passaggio dopo è come se raccogliesse v, quindi rimarrebbe solo $lambda$ - l'applicazione di partenza. L'ho chiamato un prodotto perchè sembra tale, ma probabilmente così non è. Intuitivamente l'ho accostato a quello
Se consideri l'applicazione lineare identica e la moltiplichi per $\lambda$ ottieni
$\lambdaid: V \to V : v \to \lambdav$
Così, da $f(v)-\lambdav=0$ hai $f(v)-\lambdaid(v)=0$ e da qui: $(f-\lambdaid)(v)=0$
Quindi si nota che $v\in$ $Ker(f-\lambdaid)$
$\lambdaid: V \to V : v \to \lambdav$
Così, da $f(v)-\lambdav=0$ hai $f(v)-\lambdaid(v)=0$ e da qui: $(f-\lambdaid)(v)=0$
Quindi si nota che $v\in$ $Ker(f-\lambdaid)$
Ho capito ora che $f-lambdaid$ è una nuova applicazione definita. Perchè nessuno lo dice esplicitamente? :'( E per dimostrare che un autospazio è un sottospazio?
Sai che un autospazio è un sottospazio perché è un $Ker$
Come lo dimostro? Con lo zero che appartiene e la chiusura rispetto alla somma ed alla moltiplicazione per uno scalare oppure la precedente dimostrazione mi basta per dire che è sottospazio? Comunque avendo dimostrato in precedenza che il ker lo è, per conseguenza lo è anche l'autospazio, però ho paura che non sia sufficiente messa così
Se vuoi puoi dimostrarlo anche facendo vedere che $0\in V_\lambda$ e che $\alphav+\betaw\inV_\lambda$ che è ugualmente facile
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