Autospazi e base ortogonale
ciao a tutti ragazzi, domani ho l'esame di algebra lineare e ho bisogno di qualche chiarimento.
Ho quest'esercizio:
detta $ f: R{::}_(\ \ )^(3) text()|-> R{::}_(\ \ )^(3) text() $ l'applicazione lineare:
$ ( ( 1 , 2 , 0 ),( -1 , -2 , 0 ),( -3 , -9 , 1 ) ) $
determinare:
b) il nucleo di f e, se esiste, una sua base;
c) l’immagine di f e, se esiste, una sua base;
d) una base per il sottospazio ortogonale ad f;
e) gli autovalori di f e le relative molteplicità;
f) gli autospazi di f ed una base di ognuno di essi;
g) dire se f `e semplice;
h) una base ortogonale di R^3, se esiste, formata da autovettori di f.
Soluzione:
ho risolto fino al punto e) e mi trovo con i risultati dati dal prof.
ora nel punto "f" mi chiede di trovare gli autospazi.
Gli autovettori sono (-2,1,3) (0,0,1) (-1,1,-3) non riesco a capire come trovare gli autospazi...
Stessa cosa per il punto "h"
Ho quest'esercizio:
detta $ f: R{::}_(\ \ )^(3) text()|-> R{::}_(\ \ )^(3) text() $ l'applicazione lineare:
$ ( ( 1 , 2 , 0 ),( -1 , -2 , 0 ),( -3 , -9 , 1 ) ) $
determinare:
b) il nucleo di f e, se esiste, una sua base;
c) l’immagine di f e, se esiste, una sua base;
d) una base per il sottospazio ortogonale ad f;
e) gli autovalori di f e le relative molteplicità;
f) gli autospazi di f ed una base di ognuno di essi;
g) dire se f `e semplice;
h) una base ortogonale di R^3, se esiste, formata da autovettori di f.
Soluzione:
ho risolto fino al punto e) e mi trovo con i risultati dati dal prof.
ora nel punto "f" mi chiede di trovare gli autospazi.
Gli autovettori sono (-2,1,3) (0,0,1) (-1,1,-3) non riesco a capire come trovare gli autospazi...
Stessa cosa per il punto "h"
Risposte
Ciao Nusia 
allora intanto gli autovettori sono giusti tranne quello relativo all'autovalore -1. Tu hai scritto che è $ (-1,1,-3) $ ma mi sa che al posto di -3 c'è un 3.
Poi gli autospazi non sono altro che le combinazioni lineari degli autovettori corrispondenti. Cioè se tu hai $ lambda=1 $ come autovalore e $ (0,0,1) $ il relativo autovettore$ rArr $l'autospazio è dato da tutti i vettori che si scrivono come $ (0,0,alpha) $. Così funziona anche per gli altri.
L'applicazione è semplice perchè la molteplicità algebrica è uguale a quella geometrica per ogni autovalore.
Per l'ultimo punto direi che una tale base non esiste dato che se prendo come vettori di base gli autovettori di $ f $ si vede che non sono ortogonali tra loro.
allora intanto gli autovettori sono giusti tranne quello relativo all'autovalore -1. Tu hai scritto che è $ (-1,1,-3) $ ma mi sa che al posto di -3 c'è un 3.
Poi gli autospazi non sono altro che le combinazioni lineari degli autovettori corrispondenti. Cioè se tu hai $ lambda=1 $ come autovalore e $ (0,0,1) $ il relativo autovettore$ rArr $l'autospazio è dato da tutti i vettori che si scrivono come $ (0,0,alpha) $. Così funziona anche per gli altri.
L'applicazione è semplice perchè la molteplicità algebrica è uguale a quella geometrica per ogni autovalore.
Per l'ultimo punto direi che una tale base non esiste dato che se prendo come vettori di base gli autovettori di $ f $ si vede che non sono ortogonali tra loro.
@Nusia: ma se non sai come determinare gli autospazi, come hai trovato gli autovettori? A muzzo? 
Per il punto (h), devi stabilire se $f$ è autoaggiunto o meno rispetto (suppongo) al prodotto scalare standard. In quel caso l'esistenza di una base ortonormale di autovettori te la garantisce il Teorema spettrale [nota]Ovviamente, se dai punti precedenti hai scoperto che $f$ non è diagonalizzabile, hai automaticamente la certezza che non esiste una base di autovettori, né ortonormale né ortoaltro.[/nota]
Per determinare esplicitamente i vettori di tale base, se esiste, puoi usare il procedimento di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt per ricavarti una base ortogonale, che poi dovrai normalizzare.
EDIT: scusa, avevo letto "ortonormale" anziché "ortogonale"; il discorso rimane lo stesso però
Per il punto (h), devi stabilire se $f$ è autoaggiunto o meno rispetto (suppongo) al prodotto scalare standard. In quel caso l'esistenza di una base ortonormale di autovettori te la garantisce il Teorema spettrale [nota]Ovviamente, se dai punti precedenti hai scoperto che $f$ non è diagonalizzabile, hai automaticamente la certezza che non esiste una base di autovettori, né ortonormale né ortoaltro.[/nota]
Per determinare esplicitamente i vettori di tale base, se esiste, puoi usare il procedimento di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt per ricavarti una base ortogonale, che poi dovrai normalizzare.
EDIT: scusa, avevo letto "ortonormale" anziché "ortogonale"; il discorso rimane lo stesso però
@Plepp
Si può subito dire che l'endomorfismo non è simmetrico?
Ti spiego il mio ragionamento (suppongo anch'io che si stia parlando del prodotto scalare standard $ Phi $).
Dato $ mathbb(R^3) $spazio euclideo e un certo endomorfismo $ f $, fissata una base $ B $ dello spazio ortonormale per $ Phi $, $ f $ è autoaggiunto$ lArrrArr $la matrice associata ad $ f $ nella base $ B $ è simmetrica.
Ora la base canonica è una base di $ mathbb(R^3) $ ortonormale per $ Phi $. Posso dire che la matrice associata ad $ f $ nella base canonica è quella data dall'esercizio che, non essendo simmetrica, implica che $ f $ non è autoaggiunto.
Si può subito dire che l'endomorfismo non è simmetrico?
Ti spiego il mio ragionamento (suppongo anch'io che si stia parlando del prodotto scalare standard $ Phi $).
Dato $ mathbb(R^3) $spazio euclideo e un certo endomorfismo $ f $, fissata una base $ B $ dello spazio ortonormale per $ Phi $, $ f $ è autoaggiunto$ lArrrArr $la matrice associata ad $ f $ nella base $ B $ è simmetrica.
Ora la base canonica è una base di $ mathbb(R^3) $ ortonormale per $ Phi $. Posso dire che la matrice associata ad $ f $ nella base canonica è quella data dall'esercizio che, non essendo simmetrica, implica che $ f $ non è autoaggiunto.
Sì, certo
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