Autospazi con parametro
Ciao a tutti, avrei bisogno di una mano con questo semplice esercizio:
Trovare al variare dei parametri gli autospazi della matrice \(\displaystyle \begin{pmatrix}1&a\\0&b\end{pmatrix} \) (i parametri sono reali).
Ho provato a fare in questo modo:
Gli autovalori della matrice sono \(\displaystyle \lambda_1=1\ , \ \lambda_2=b \) per ogni valore dei parametri.
\(\displaystyle E_{\lambda_1} = \ker \begin{pmatrix}0&a\\0&b-1\end{pmatrix} \)
se \(\displaystyle a=0 , b=1 \Rightarrow E_{\lambda_1} = \mathbb{R}^2\).
se \(\displaystyle b \neq 1 \wedge a=0 \Rightarrow E_{\lambda_1} = \mathcal{L}\{(1,0)^t\}\)
se \(\displaystyle b=1 \wedge a\neq 0 \Rightarrow E_{\lambda_1}= \mathcal{L}\{(1,0)^t\} \)
se \(\displaystyle b \neq 1 \wedge a \neq 0 \Rightarrow E_{\lambda_1}= \mathcal{L}\{(1,0)^t\}\)
Quindi il problema mi si pone solo quando il rango della matrice cambia? Non ci sto capendo un tubo... Qualcuno mi dice come si affronta in modo "normale" questo esercizio? (Banalmente mi sto confondendo su come risolvere questo stupidissimo sistema...)
se \(\displaystyle b\neq1 \Rightarrow E_{\lambda_2}= \ker \begin{pmatrix}1-b&a\\0&0\end{pmatrix} = \mathcal{L}\left\{\begin{pmatrix}\frac{a}{b-1}\\1\end{pmatrix}\right\}\)
se \(\displaystyle b = 1 \wedge a \neq 0 \Rightarrow E_{\lambda_2}=\mathcal{L}\left\{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\right\} \)
se \(\displaystyle b = 1 \wedge a = 0 \Rightarrow E_{\lambda_2} = \mathbb{R}^2 \)
Ho scritto probabilmente tante stupidaggini
, qualche consiglio? Grazie a tutti per l'attenzione!
Cordialmente Cristian
Trovare al variare dei parametri gli autospazi della matrice \(\displaystyle \begin{pmatrix}1&a\\0&b\end{pmatrix} \) (i parametri sono reali).
Ho provato a fare in questo modo:
Gli autovalori della matrice sono \(\displaystyle \lambda_1=1\ , \ \lambda_2=b \) per ogni valore dei parametri.
\(\displaystyle E_{\lambda_1} = \ker \begin{pmatrix}0&a\\0&b-1\end{pmatrix} \)
se \(\displaystyle a=0 , b=1 \Rightarrow E_{\lambda_1} = \mathbb{R}^2\).
se \(\displaystyle b \neq 1 \wedge a=0 \Rightarrow E_{\lambda_1} = \mathcal{L}\{(1,0)^t\}\)
se \(\displaystyle b=1 \wedge a\neq 0 \Rightarrow E_{\lambda_1}= \mathcal{L}\{(1,0)^t\} \)
se \(\displaystyle b \neq 1 \wedge a \neq 0 \Rightarrow E_{\lambda_1}= \mathcal{L}\{(1,0)^t\}\)
Quindi il problema mi si pone solo quando il rango della matrice cambia? Non ci sto capendo un tubo... Qualcuno mi dice come si affronta in modo "normale" questo esercizio? (Banalmente mi sto confondendo su come risolvere questo stupidissimo sistema...)
se \(\displaystyle b\neq1 \Rightarrow E_{\lambda_2}= \ker \begin{pmatrix}1-b&a\\0&0\end{pmatrix} = \mathcal{L}\left\{\begin{pmatrix}\frac{a}{b-1}\\1\end{pmatrix}\right\}\)
se \(\displaystyle b = 1 \wedge a \neq 0 \Rightarrow E_{\lambda_2}=\mathcal{L}\left\{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\right\} \)
se \(\displaystyle b = 1 \wedge a = 0 \Rightarrow E_{\lambda_2} = \mathbb{R}^2 \)
Ho scritto probabilmente tante stupidaggini
, qualche consiglio? Grazie a tutti per l'attenzione!Cordialmente Cristian
Risposte
"LogicalCake":Giusto.
Se \(\displaystyle b\neq1 \Rightarrow E_{\lambda_2}= \ker \begin{pmatrix}1-b&a\\0&0\end{pmatrix} = \mathcal{L}\left\{\begin{pmatrix}\frac{a}{b-1}\\1\end{pmatrix}\right\}\)
se \(\displaystyle b = 1 \wedge a \neq 0 \Rightarrow E_{\lambda_2}=\mathcal{L}\left\{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\right\} \)
se \(\displaystyle b = 1 \wedge a = 0 \Rightarrow E_{\lambda_2} = \mathbb{R}^2 \)
"Martino":Giusto.[/quote]
[quote="LogicalCake"]Se \(\displaystyle b\neq1 \Rightarrow E_{\lambda_2}= \ker \begin{pmatrix}1-b&a\\0&0\end{pmatrix} = \mathcal{L}\left\{\begin{pmatrix}\frac{a}{b-1}\\1\end{pmatrix}\right\}\)
se \(\displaystyle b = 1 \wedge a \neq 0 \Rightarrow E_{\lambda_2}=\mathcal{L}\left\{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\right\} \)
se \(\displaystyle b = 1 \wedge a = 0 \Rightarrow E_{\lambda_2} = \mathbb{R}^2 \)
Grazie della conferma, per quanto riguarda invece l’autospazio associato al primo autovalore? Non so… non riesco ad applicare un procedimento del genere su matrici più grandi con più parametri, vado in confusione e salto delle condizioni necessarie… C’è un modo diverso di procedere? Diciamo universale, senza impazzire cercando di capire se ho considerato tutti i casi… Grazie tante dell’aiuto come al solito
E' tutto giusto, anche la discussione del primo autovalore.
Non capisco bene quale sia il problema, mi sembra che hai già capito come procedere.
Non capisco bene quale sia il problema, mi sembra che hai già capito come procedere.
Ah va bene, grazie tante, è che mi sembrava di svolgere questo tipo di esercizi "ad occhio", non saprei come spiegarlo. Credevo esistesse un procedimento più rigoroso, tutto qua. Proseguendo con questo esercizio mi viene chiesto per quali valori dei parametri la matrice è diagonalizzabile. Mi date una mano per favore? Grazie tante
L'idea è che se gli autovalori sono due a due distinti allora la matrice è diagonalizzabile (questo dovresti saperlo, è un fatto teorico noto), e più in generale in tutti questi esercizi coi parametri il caso critico è quello in cui gli autovalori NON sono due a due distinti. Nel caso in esame, se $b ne 1$ allora la matrice è diagonalizzabile. Riesci a fare il caso $b=1$?
"Martino":
[...] Riesci a fare il caso $b=1$?
Quindi in questo caso \(\displaystyle [b=1] \), affinchè la matrice sia diagonalizzabile deve valere \(\displaystyle \dim E_{\lambda} = \mathrm{mult}(\lambda) \)
\(\displaystyle \dim E_{\lambda} = 2 - \mathrm{rank}\begin{pmatrix}0&a\\0&0\end{pmatrix} = 1 \neq \mathrm{mult}(\lambda)\ \ \ \forall a \in \mathbb{R} : a \neq 0\)
Mentre se \(\displaystyle [a=0] \Rightarrow \dim E_{\lambda} = 2 = \mathrm{mult}(\lambda) \)
Quindi in conclusione, quando \(\displaystyle b=1 \) la matrice sarà diagonalizzabile se e solo se \(\displaystyle a = 0 \)?
Grazie davvero per l'aiuto
Esatto
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