Autospazi Associati ad Autovalori
Salve di nuovo,
spero di non violare le regole del forum postando un treadh dietro l'altro, ma ho un dubbio che vorrei risolvere!
Ho studiato che : L’insieme degli autovettori relativi ad un autovalore formano uno spazio vettoriale (sottospazio
di $ R^n$), detto Autospazio relativo all’autovalore :
$ E $( $\lambda$ ) = { autovettori relativi a $\lambda$ }
Non riesco pero a capire quale sia la logica per scrivere le equazioni dell'autospazio:
Devo guardare le colonne della matrice associata con la sostituzione?
Devo guardare le righe come fosse un una matrice di un sistema lineare?
E poi, ad esempio come ci si comporta nel caso l'esercizio dia la matrice associata rispetto alla base generica $(b1,b2,b3)$ di $R^3$ ??
Ho cercato su internet e letto gli appunti di teoria... Ma non capisco
Eppure sembra semplice a parole...
spero di non violare le regole del forum postando un treadh dietro l'altro, ma ho un dubbio che vorrei risolvere!
Ho studiato che : L’insieme degli autovettori relativi ad un autovalore formano uno spazio vettoriale (sottospazio
di $ R^n$), detto Autospazio relativo all’autovalore :
$ E $( $\lambda$ ) = { autovettori relativi a $\lambda$ }
Non riesco pero a capire quale sia la logica per scrivere le equazioni dell'autospazio:
Devo guardare le colonne della matrice associata con la sostituzione?
Devo guardare le righe come fosse un una matrice di un sistema lineare?
E poi, ad esempio come ci si comporta nel caso l'esercizio dia la matrice associata rispetto alla base generica $(b1,b2,b3)$ di $R^3$ ??
Ho cercato su internet e letto gli appunti di teoria... Ma non capisco
Eppure sembra semplice a parole...
Risposte
Ciao, se ho ben capito vuoi sapere come trovare gli autovettori, giusto?
Dalla definizione sappiamo che $v$ è autovettore per $A$ relativo all'autovalore $\lambda$ se $$Av = \lambda v$$ Portando tutto a sinistra possiamo scrivere $$\left(A-\lambda I\right)v = 0$$ ma questo significa dire che $$v \in \operatorname{Ker}\left(A-\lambda I\right)$$ Quindi il procedimento è il seguente:
1. trovare gli autovalori
2. andare a sostituire questi autovalori, uno alla volta, nella matrice $A-\lambda I$
3. trovare il kernel (o nucleo) di queste matrici, cioè una combinazione lineare delle colonne che dia il vettore nullo.
Ti rimando inoltre a un esercizio che avevo svolto un po' di tempo fa in un altro thread: link.
Dalla definizione sappiamo che $v$ è autovettore per $A$ relativo all'autovalore $\lambda$ se $$Av = \lambda v$$ Portando tutto a sinistra possiamo scrivere $$\left(A-\lambda I\right)v = 0$$ ma questo significa dire che $$v \in \operatorname{Ker}\left(A-\lambda I\right)$$ Quindi il procedimento è il seguente:
1. trovare gli autovalori
2. andare a sostituire questi autovalori, uno alla volta, nella matrice $A-\lambda I$
3. trovare il kernel (o nucleo) di queste matrici, cioè una combinazione lineare delle colonne che dia il vettore nullo.
Ti rimando inoltre a un esercizio che avevo svolto un po' di tempo fa in un altro thread: link.
Innanzi tutto grazie, ho letto l'altro esercizio... ma la questione per me è questa: Correggimi se sbaglio:
1)trovo gli autovettori
2)una volta sostituiti nella matrice, la riscrivo, come tu hai fatto nell'esercizio postato.
-Auto vettori sono il nucleo della matrice:
-Autospazi sono gli spazi definiti dalle equazioni dei vettori?
-Come faccio ad ottenere queste equazioni nel caso la matrice non sia associata ad una base canonica, ma invece ad una base generica $(b1,b2,b3)$ ???
Grazie
1)trovo gli autovettori
2)una volta sostituiti nella matrice, la riscrivo, come tu hai fatto nell'esercizio postato.
-Auto vettori sono il nucleo della matrice:
-Autospazi sono gli spazi definiti dalle equazioni dei vettori?
-Come faccio ad ottenere queste equazioni nel caso la matrice non sia associata ad una base canonica, ma invece ad una base generica $(b1,b2,b3)$ ???
Grazie
L'autospazio è il sottospazio generato dagli autovettori riferiti allo stesso autovalore.
Ricavare le equazioni cartesiane (perché immagino tu ti riferisca a queste) a partire da una base di un sottospazio è un'altra questione. Ad esempio immaginiamo che a un certo autovalore \(\lambda^*\) sia associato l'autovettore $$v=\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}$$ A questo punto l'autospazio è dato da $$\operatorname{Span} \left\{v\right\}$$ Se invece vogliamo le equazioni cartesiane del sottospazio possiamo fare così: il generico vettore del sottospazio è $$\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix} = \alpha\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}$$ Questo sistema si può riscrivere in forma matriciale come $$\left[\begin{array}{c|c}1&x\\1&y\end{array}\right]$$ ed ammette soluzione solo se il rango della matrice completa è $2$, cioè se il suo determinante è nullo. Quindi se $$y-x = 0$$ e questa rappresenta l'equazione cartesiana del sottospazio.
Per quanto riguarda il problema di una base diversa da quella canonica puoi sempre applicare la matrice di cambio di base, anche se forse ci sono procedimenti migliori. Su questo punto ti conviene aspettare risposte da qualcuno più esperto.
Ricavare le equazioni cartesiane (perché immagino tu ti riferisca a queste) a partire da una base di un sottospazio è un'altra questione. Ad esempio immaginiamo che a un certo autovalore \(\lambda^*\) sia associato l'autovettore $$v=\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}$$ A questo punto l'autospazio è dato da $$\operatorname{Span} \left\{v\right\}$$ Se invece vogliamo le equazioni cartesiane del sottospazio possiamo fare così: il generico vettore del sottospazio è $$\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix} = \alpha\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}$$ Questo sistema si può riscrivere in forma matriciale come $$\left[\begin{array}{c|c}1&x\\1&y\end{array}\right]$$ ed ammette soluzione solo se il rango della matrice completa è $2$, cioè se il suo determinante è nullo. Quindi se $$y-x = 0$$ e questa rappresenta l'equazione cartesiana del sottospazio.
Per quanto riguarda il problema di una base diversa da quella canonica puoi sempre applicare la matrice di cambio di base, anche se forse ci sono procedimenti migliori. Su questo punto ti conviene aspettare risposte da qualcuno più esperto.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo