Automorfismo di Frobenius e matrice associata

[NightKnight1]

Sia $p$ un numero primo e $n in NN^+$. Sia $F_(p^n)$ il campo con $p^n$ elementi.
Sia $phi \ : \ F_(p^n) -> F_(p^n) \ , \ x |-> x^p$ l'automorfismo di Frobenius.

So già che $phi in Gal(F_(p^n) // F_p)$ e che $phi$ ha ordine $n$ ($phi$ è un generatore del gruppo ciclico $Gal(F_(p^n) // F_P)$) ; in particolare $phi^n = Id_(F_(p^n))$.
Chiedevo se esistesse una base di $F_(p^n)$ su $F_p$ rispetto alla quale $phi$ fosse rappresentato da una matrice particolarmente semplice.



Siano $P(X),m(X) in F_p[X]$ i polinomi caratteristico e minimo di $phi$.
Si vede che $phi$ soddisa il polinomio $X^n -1$, quindi $m(X) | X^n -1$;
Sia $alpha in NN$ tale che $n=p^alpha m$, con $m in NN$ coprimo con $p$.
Allora $X^n -1 = X^(p^alpha m) - 1= (X^m - 1)^(p^alpha) in F_p[X]$.
Allora il campo di spezzaemento di $X^n - 1$ su $F_p$ è $F_(p^k)$ dove $k$ è l'ordine moltiplicativo di $p$ modulo $m$: $k = text{ord}_(ZZ//mZ ^**) (p)$; inoltre $k$ è il minimo comune multiplo dei gradi dei fattori irriducibili di $X^n -1$ su $F_p$.

Adesso non so dire altro.

Grazie a chiunque risponderà.

[NightKnight1]

Nessuno ha qualche idea?