Atlanti complessi equivalenti
Salve a tutti, vorrei chiedervi una mano riguardo la costruzione di una struttura complessa su una varieta' topologica:
Diciamo che $M$ e' una varieta' topologica; due carte definite su $M$ sono compatibili se e solo se l'intersezione fra i domini e' vuota, oppure la mappa di transizione e' biolomorfa. La relazione di compatibilita' fra carte non e' una relazione di equivalenza difatti manca la proprieta' di transitivita'. Viceversa due atlanti complessi $\mathcal A$ e $\mathcal B$ si dicono equivalenti se tutte le carte di $\mathcal A$ sono compatibili con tutte le carte di $\mathcal B$. Quella appena definita questa volta e' una relazione di equivalenza e stavo cercando di provarlo (senza ricorrere a formulazioni equivalenti della relazione di equivalenza):
per la riflessivita' e per la simmetria la dimostrazione e' ovvia visto che entrambe seguono dalle proprieta' delle singole carte, non riesco pero' a dimostrare la transitivita'. A dire la verita' avrei un' idea ma non so se sono sulla strada giusta; siano $\mathcal A\sim\mathcal B$ e $\mathcal B\sim\mathcal C$, e consieriamo due generiche carte $(U,\varphi)\in\mathcal A$ e $(V,\psi)\in\mathcal C$. Se $U\cap V=\emptyset$ allora la tesi segue (ovviamente), se invece tale intersezione non e' vuota, essa (l'intersezione) e' sicuramente ricoperta da carte appartenenti a $\mathcal B$ e da qui dovrebbe seguire in qualche modo la tesi utilizzando il fatto che le carte di $\mathcal B$ sono compatibili con tutte le carte di $\mathcal A$ e $\mathcal C$.
Che ne pensate? qualche altra idea?
Su tutti i libri c'e' scritto che la dimostrazione e' "straightforward" ma mi sto scervellando da una giornata senza risultati.. bah!
grazie in anticipo per l'aiuto
Diciamo che $M$ e' una varieta' topologica; due carte definite su $M$ sono compatibili se e solo se l'intersezione fra i domini e' vuota, oppure la mappa di transizione e' biolomorfa. La relazione di compatibilita' fra carte non e' una relazione di equivalenza difatti manca la proprieta' di transitivita'. Viceversa due atlanti complessi $\mathcal A$ e $\mathcal B$ si dicono equivalenti se tutte le carte di $\mathcal A$ sono compatibili con tutte le carte di $\mathcal B$. Quella appena definita questa volta e' una relazione di equivalenza e stavo cercando di provarlo (senza ricorrere a formulazioni equivalenti della relazione di equivalenza):
per la riflessivita' e per la simmetria la dimostrazione e' ovvia visto che entrambe seguono dalle proprieta' delle singole carte, non riesco pero' a dimostrare la transitivita'. A dire la verita' avrei un' idea ma non so se sono sulla strada giusta; siano $\mathcal A\sim\mathcal B$ e $\mathcal B\sim\mathcal C$, e consieriamo due generiche carte $(U,\varphi)\in\mathcal A$ e $(V,\psi)\in\mathcal C$. Se $U\cap V=\emptyset$ allora la tesi segue (ovviamente), se invece tale intersezione non e' vuota, essa (l'intersezione) e' sicuramente ricoperta da carte appartenenti a $\mathcal B$ e da qui dovrebbe seguire in qualche modo la tesi utilizzando il fatto che le carte di $\mathcal B$ sono compatibili con tutte le carte di $\mathcal A$ e $\mathcal C$.
Che ne pensate? qualche altra idea?
Su tutti i libri c'e' scritto che la dimostrazione e' "straightforward" ma mi sto scervellando da una giornata senza risultati.. bah!
grazie in anticipo per l'aiuto
Risposte
Invece di partire da due carte prova a partire dai punti della varietà: dimostra che il cambio di carta è buono in un dato punto per tutte le coppie di carte che lo contengono.
Cioè: invece di fissare le carte e far variare il punto nell'intersezione fissa il punto e fai variare le carte
Cioè: invece di fissare le carte e far variare il punto nell'intersezione fissa il punto e fai variare le carte
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