Atlante di un nastro di Mobius
Buonasera a tutti, sono nuovo del forum ed è un piacere iniziare con voi questo viaggio nella matematica 
sto preparando l'esame di Geometria 2 (che verte sullo studio della geometria differenziale e curve e superfici) e ho riscontrato un esercizio che non so risolvere del tutto; mi spiego: l'esercizio proposto chiede di trovare parametrizzazioni per il nastro di Mobius ed in seguito verificare se formano un atlante.
Ebbene, come suggerimento il professore ci aveva consigliato di considerare l'insieme \( U=\{(u,v)\in\mathbb{R}^2 \;|\; 0
\( \varphi(u,v)=\big(\big(2-v\sin{\frac{u}{2}}\big)\sin u,\big(2-v\sin{\frac{u}{2}}\big)\cos u,v\cos\frac{u}{2}\big) \)
e
\( \tilde{\varphi}(u,v)=\big(\big(2-v\sin{\frac{2u+\pi}{4}}\big)\cos u,\big(-2+v\sin{\frac{2u+\pi}{4}}\big)\sin u,v\cos\frac{2u+\pi}{4}\big) \)
Arrivati a questo punto, come faccio a dimostrare se effettivamente le due parametrizzazioni locali costituiscono un atlante per il nastro? Sono abbastanza sicuro sul fatto di aver parametrizzato tutta la superficie considerando le due suddette funzioni, solo che non so più come procedere e purtroppo non è la prima volta che mi capita questo inghippo perchè ahimè non c'è un metodo prestabilito per capire se delle parametrizzazioni costituiscono un atlante.
Ho pensato che forse dovrei dimostrare che le immagini delle due parametrizzazioni sono non connesse, ma non so come procedere, grazie in anticipo per l'aiuto e spero di essere stato chiaro e di aver posto correttamente il mio primo quesito nel rispetto delle norme
sto preparando l'esame di Geometria 2 (che verte sullo studio della geometria differenziale e curve e superfici) e ho riscontrato un esercizio che non so risolvere del tutto; mi spiego: l'esercizio proposto chiede di trovare parametrizzazioni per il nastro di Mobius ed in seguito verificare se formano un atlante.Ebbene, come suggerimento il professore ci aveva consigliato di considerare l'insieme \( U=\{(u,v)\in\mathbb{R}^2 \;|\; 0
\( \varphi(u,v)=\big(\big(2-v\sin{\frac{u}{2}}\big)\sin u,\big(2-v\sin{\frac{u}{2}}\big)\cos u,v\cos\frac{u}{2}\big) \)
e
\( \tilde{\varphi}(u,v)=\big(\big(2-v\sin{\frac{2u+\pi}{4}}\big)\cos u,\big(-2+v\sin{\frac{2u+\pi}{4}}\big)\sin u,v\cos\frac{2u+\pi}{4}\big) \)
Arrivati a questo punto, come faccio a dimostrare se effettivamente le due parametrizzazioni locali costituiscono un atlante per il nastro? Sono abbastanza sicuro sul fatto di aver parametrizzato tutta la superficie considerando le due suddette funzioni, solo che non so più come procedere e purtroppo non è la prima volta che mi capita questo inghippo perchè ahimè non c'è un metodo prestabilito per capire se delle parametrizzazioni costituiscono un atlante.
Ho pensato che forse dovrei dimostrare che le immagini delle due parametrizzazioni sono non connesse, ma non so come procedere, grazie in anticipo per l'aiuto e spero di essere stato chiaro e di aver posto correttamente il mio primo quesito nel rispetto delle norme
Risposte
Ammesso che quelle due siano paremetrizzazioni regolari di pezzi del nastro devi controllare che il cambiamento di coordinate locali e' di classe $C^\infty$.
Perfetto grazie mille
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