Associatività tra funzioni
come posso dimostrare l'associativita di funzioni composte?
Risposte
ma le funzioni composte sono a loro volta funzioni e per queste vale l'associatività...spero siano funzioni normali tipo che ne so comntinue su un intervallo dei reali.
si si sono normali.. pero se ho x((f°g)°h)=x(f°g)° x(h) giusto' e qui come faccio a continuare?
non capisco quella x...potresti scrivere meglio epr favore? 
allora abbiamo la funzione f°g: x -> g(xf).. è la funzione definita in questo modo
ma cosa è xf????
ci provo.
$h : A -> B," "g : B -> C," "f : C -> D$
il codominio di h è il dominio di g, ed il codominio di g è il dominio di f.
queste condizioni sono indispensabili perché si parla di composizione g°h e di composizione f°g.
in realtà B è anche il dominio di (f°g), e C è anche il codominio di (g°h).
prendiamo i generici elementi a,b,c,d dei rispettivi insiemi:
(f°(g°h))(a)=f((g°h)(a))=f(c)=d, se h(a)=b e g(b)=c
((f°g)°h)(a)=(f°g)(h(a))=(f°g)(b)=d, se g(b)=c e f(c)=d
spero di aver reso l'idea. ciao.
$h : A -> B," "g : B -> C," "f : C -> D$
il codominio di h è il dominio di g, ed il codominio di g è il dominio di f.
queste condizioni sono indispensabili perché si parla di composizione g°h e di composizione f°g.
in realtà B è anche il dominio di (f°g), e C è anche il codominio di (g°h).
prendiamo i generici elementi a,b,c,d dei rispettivi insiemi:
(f°(g°h))(a)=f((g°h)(a))=f(c)=d, se h(a)=b e g(b)=c
((f°g)°h)(a)=(f°g)(h(a))=(f°g)(b)=d, se g(b)=c e f(c)=d
spero di aver reso l'idea. ciao.
sono un po confusa però sicuramente non riesco a capire bene perche noi siamo abituati a considerare xf al posto di f(x) .. e quindi x(f°g) = g(xf) ...
allora prova a ricostruire. certamente né con x né con a si ha una "limpida" dimostrazione.
la parte centrale è sui domini e codomini che si susseguono. ti conviene farti un disegno, e poi usa x,y,z,t all'interno dei quattro insiemi.
l'idea era semplicemente di dire che f°g (ad esempio), essendo tale che prima opera g e poi opera f, è definita nel dominio di g ed ha codominio coincidente con il codominio di f. usa i simboli che vuoi.
l'associatività serve, come al solito, ad estendere l'operazione binaria (composizione) a più di due funzioni, per cui possiamo scrivere f°g°h senza parentesi, senza equivoci, perché intendiamo x(f°g°h)=f(g(h(x))), nel senso che operano tre funzioni, nell'ordine h,g,f.
se pensi che sia utile, riscrivi tutto con altre notazioni, ma credo che il disegno ti aiuti di più. ciao.
la parte centrale è sui domini e codomini che si susseguono. ti conviene farti un disegno, e poi usa x,y,z,t all'interno dei quattro insiemi.
l'idea era semplicemente di dire che f°g (ad esempio), essendo tale che prima opera g e poi opera f, è definita nel dominio di g ed ha codominio coincidente con il codominio di f. usa i simboli che vuoi.
l'associatività serve, come al solito, ad estendere l'operazione binaria (composizione) a più di due funzioni, per cui possiamo scrivere f°g°h senza parentesi, senza equivoci, perché intendiamo x(f°g°h)=f(g(h(x))), nel senso che operano tre funzioni, nell'ordine h,g,f.
se pensi che sia utile, riscrivi tutto con altre notazioni, ma credo che il disegno ti aiuti di più. ciao.
si ora la dimostrazionje mi è chiara grazie..solo che mi è sorto un dubbio.. e se volessi dimostrare la distribuitivota rispetto alla somma?
della composizione?
non è mica vera?
basta prendere $log(x^2+x)$ non è mica uguale a $log(x^2)+log(x)$ ?
non è mica vera?
basta prendere $log(x^2+x)$ non è mica uguale a $log(x^2)+log(x)$ ?
Per quanto conceerne la questione di $f(x)$ e $xf$ è un puro problema di convenzioni grafiche: Hernstein docet.
Per l'ultima domanda: esiste la somma delle funzioni? Non ne ho mai sentito parlare.
Per l'ultima domanda: esiste la somma delle funzioni? Non ne ho mai sentito parlare.
"WiZaRd":
esiste la somma delle funzioni? Non ne ho mai sentito parlare.
Certo che esiste, la si definisce semplicemente ponendo $(f+g)(x)=f(x)+g(x)$. Se si vede ad una funzione $X to Y$ come un elemento di $Y^X=prod_{x in X}Y$, la somma tra funzioni non e' altro che la somma per componenti (questo per dire che non c'e' niente di nuovo
).(naturalmente la somma tra funzioni esiste corrispondentemente ad una somma fissata nel codominio)
ha ragione martino..
"valy":
ha ragione martino..
In che senso ho ragione? Ho solo riportato una definizione. Quanto al tuo dubbio, la composizione non e' distributiva sulla somma (vedi controesempio di adaBTTLS).
"Martino":
[quote="WiZaRd"]esiste la somma delle funzioni? Non ne ho mai sentito parlare.
Certo che esiste, la si definisce semplicemente ponendo $(f+g)(x)=f(x)+g(x)$. Se si vede ad una funzione $X to Y$ come un elemento di $Y^X=prod_{x in X}Y$, la somma tra funzioni non e' altro che la somma per componenti (questo per dire che non c'e' niente di nuovo
).(naturalmente la somma tra funzioni esiste corrispondentemente ad una somma fissata nel codominio)[/quote]
Povero me ignorante
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