Assiomi di spazio vettoriale e logica..

[login2]

Vorrei dimostrare che la commutatività dell'addizione di due elementi di uno spazio vettoriale è una proprietà che deriva dagli altri assiomi di spazio vettoriale..

Avrei pensato di fare così:

Prendiamo due vettori qualsiasi di uno spazio vettoriale su R,

La mia tesi è questa : $\bar u+\bar v=\bar v+\bar u$

Le ipotesi sono tutti gli altri assiomi di spazio vettoriale

$\bar u+\bar v$ A questi due vettori aggiungo il vettore nullo che per assioma di spazio vettoriale non altera la somma.

$\bar u+\bar v+\bar 0=\bar u+\bar v$

Sempre per assioma di spazio vettoriale il vettore nullo è uguale alla somma di un vettore per il suo opposto, nel mio caso dico che $\bar u+(-\bar u)=\bar 0$

Posso riscrivere ora la somma di v ed u e il vettore nullo:

$\bar u+\bar v+\bar u+(-\bar u)=\bar u+\bar v$

Per l'associatività dell'addizione di due vettori in uno spazio vettoriale, associo i vettori v ed u "al centro"

$\bar u+(\bar v+\bar u)-\bar u=\bar u+\bar v$

Ora noto che al primo membro sto aggiungendo un elemento ad una certa quantità v+u e poi sto aggiungendo il suo opposto, cioè a una certa quantità prima aggiungo una cosa, e poi glie la tolgo...

Se aggiungo e poi tolgo la stessa cosa la quantità di partenza resta inalterata per cui

$\bar v+\bar u=\bar u+\bar v$

Dimostrato che la commutatività dell'addizione in uno spazio vettoriale deriva dagli altri assiomi..

Ora LOGICAMENTE parlando c'è qualche falla secondo voi? Insomma sareste soddisfatti di questa dimostrazione o c'è qualcosa che non va?

[perplesso1]

"login":
Ora noto che al primo membro sto aggiungendo un elemento ad una certa quantità v+u e poi sto aggiungendo il suo opposto, cioè a una certa quantità prima aggiungo una cosa, e poi glie la tolgo...

Facendo questo stai commutando gli addendi del primo membro, cosa che ovviamente non puoi fare se non presupponendo la commuatività. Ragionare in termini di "quantità" è fuorviante.

[login2]

e ora coma faccio?
E' caduto tutto nell'incoerenza ... credevo che ragionare in termini di quantità mi permettesse di non sbagliare..insomma se a una pera aggiungo e tolgo una mela, mi resterà sempre una pera..il problema è che non credevo che questo significasse commutare ( scambiare ordine degli addendi..)

perplesso tu che ne dici? Secondo te allora come possiamo arrivare a una dimostrazione logica e innegabile?

[perplesso1]

non ne ho la più pallida idea, dove l'hai preso questo esercizio ?

[login2]

Da una dispensa di una professoressa dell'università.., chiaramente lasciava all'alunno il compito di dimostrare questa cosa della commutatività derivata...

[perplesso1]

Usa la distributività ed il fatto che $1*x= x$

Usando gli assiomi di distributività

$x+x+y+y= (1+1)(x+y)=x+y+x+y$

e quindi $x+y = -x+ (x+x+y+y ) - y = -x +(x+y+x+y) -y = y+x$

[login2]

ma nel secondo passaggio non hai commutato? :s

[perplesso1]

No, ho sostituito usando l'ugualianza precendente