Assiomi di separabilità e distanza tra insiemi

[bernardo2]

Ciao a tutti volevo sapere se qualcuno di voi riuscisse a mostrarmi che ogni spazio metrico X soddisfa l'assioma T4 di separabilità, ovvero che per ogni F,G insiemi chiusi disgiunti di X esistono due aperti A e U di X contenenti rispettivamente F e G e tali che i due aperti sono disgiunti.
Poi volevo anche sapere se era vero e se si come mai, in $\R^n$\ se A,B sono due insiemi chiusi e L è la loro distanza definita come inf{|x-y|, con $\x \in A e y \in bB$\} allora esistono sempre due punti a appartenente ad A e b appartenete a B tali che L=|a-b|
grazie a tutti

[Sk_Anonymous]

La dimostrazione della normalità di uno spazio metrico la dovresti trovare in una qualunque dispensa online.

Per quanto riguarda il 2° punto, quello che hai detto tu non è esatto: ad esempio, in $RR^2$ il grafico dell'iperbole equilatera e gli assi cartesiani sono 2 sottoinsiemi chiusi e a distanza nulla, ma la tua prop. non vale.

Vale aggiungendo l'ipotesi di "limitati": a quel punto i 2 insiemi diventano compatti, la funzione distanza è continua e quindi ammette minimo assoluto.

[dissonance]

Forse è sufficiente che solo uno dei due sia compatto...no?

Comunque per la proposizione sugli spazi metrici: basta guardare qui http://it.wikipedia.org/wiki/Spazio_nor ... zi_metrici .
Osserva che questa non è altro che una dimostrazione diretta del lemma di Urysohn negli spazi metrici.