Assiomi di numerabilità

[Andrea902]

Buonasera a tutti!

Nel libro di testo ho trovato le seguenti affermazioni:
1) Lo spazio topologico $(RR;tau_d)$, dove con $tau_d$ si denota la topologia discreta, soddisfa il primo ma non il secondo assioma di numerabilità;
2) Lo spazio topologico $(RR;tau_c)$, dove con $tau_d$ si denota la topologia cofinita, non soddisfa il primo assioma di numerabilità.

Come le posso giustificare?

Riguardo la prima avrei pensato a questa idea: lo spazio topologico in oggetto non soddisfa il secondo assioma di numerabilità perchè $RR$ non ha la potenza del numerabile; inoltre penserei di considerare $x inRR$ e la base locale $V_x={{x}}_(x inRR)$, ma in realtà non so come dimostrare che $V_x$ costituisce esattamente una base locale e soprattutto come concludere il ragionamento...

Sono ancora alle prime armi con la topologia!

Vi ringrazio anticipatamente per le risposte.


Andrea

[dissonance]

Esercizio 1)Ti basta ricordare la definizione di "base locale". Prendi un punto $x\in RR$ ed un suo intorno $V$. La famiglia che hai esibito è una base locale sse $V$ contiene almeno un elemento di essa. Che dici, è verificata questa proprietà?

Invece la tua giustificazione del fatto che $(RR, tau_d)$ non verifica il secondo assioma di numerabilità non va bene. Secondo quanto dici, ogni topologia su $RR$ non dovrebbe verificarlo, visto che $RR$ è sempre più che numerabile indipendentemente dalla particolare topologia. E questo è banalmente falso, prendi ad esempio la topologia ${\emptyset, RR}$.

[Andrea902]

Mi è chiara l'osservazione inerente al secondo assioma di numerabilità mentre non mi è chiara la prima. In ogni caso non ho capito l'idea di fondo dell'esercizio... cioè non ho chiaro il ragionamento da seguire...

[dissonance]

Ah ho capito il problema. La base locale non è ${{x}}_{x\inRR}$. Questa semmai è una base globale, o base di aperti, come preferisci chiamarla. Per definire una base locale, per prima cosa devi specificare un punto. Sarà poi "base locale" una famiglia di intorni di questo punto con certe proprietà che sai (o se non sai trovi scritte sul tuo libro e/o sui tuoi appunti). Nel caso di un insieme $X \ne \emptyset$ con la topologia discreta, è base di intorni del punto $x_0$ la famiglia ridotta ad un solo elemento ${{x_0}}$. Prova a dimostrare questo, dire che è facile è riduttivo, in effetti è demenzialmente facile. Si tratta solo di capire le definizioni.

[Andrea902]

"dissonance":Nel caso di un insieme $X \ne \emptyset$ con la topologia discreta, è base di intorni del punto $x_0$ la famiglia ridotta ad un solo elemento ${{x_0}}$. Prova a dimostrare questo, dire che è facile è riduttivo, in effetti è demenzialmente facile. Si tratta solo di capire le definizioni.

Evidentemente ancora non ho molto chiare le definizioni... potresti spiegarmi le definizioni facendomi capire anche l'esempio? Ti ringrazio!