Assi di una conica

[marcodedomenico]

Scusate ragazzi mi potreste spiegare come si calcolano gli assi della seguente conica: $ x^2+4xy-y^2+x-y+1=0 $, non ho capito proprio come si calcolano.

[m45511]

Allora ti calcoli il contro della conica (se non sai come fare dimmelo).
Poi ti calcoli gli autovettori.

Gli assi passano per il centro della conica ed hanno direzione uguale a quella degli autovettori, quindi ti trovi la retta passante per c e parallela ai due autovettori.
Cosi ti trovi gli assi (due rette distinte).

[marcodedomenico]

scusa non so come si fa me lo potresti spiegare se non ti chiedo molto

[m45511]

Fatti questo prodotto tra matrici

$( ( x^2 , (xy)/2 ),( (xy)/2 , y2 ) ) * ( ( -(x/2) ),( -(y/2) ) )$

Ed avrai il centro della conica.
Poi prosegui come ti ho scritto in precedenza

[marcodedomenico]

Ma per trovare il centro non mi conviene mettere a sistema le prime due righe della matrice associata? Non ho capito che auotovettori devo trovare , o meglio rispetto a quale matrice

[m45511]

gli autovettori di una conica vanno calcolati rispetto la matrice $( ( x^2 , (xy)/2 ),( (xy)/2 , y2 ) )$

[marcodedomenico]

Ma questa matrice come la ricavo?? PS: scusa la mia ignoranza

[m45511]

allora la tua equazione è $ x^2+4xy-y^2+x-y+1=0 $

Adesso prendi i coefficienti dell'equzione quindi:

$x^2$ ha coefficiente 1 (il numero moltiplicato per la x)
$4xy$ ha coefficiente 4
$-y^2$ ha coefficiente -1

Adesso mettili nella matrice quindi:

$( ( x^2 , (xy)/2 ),( (xy)/2 , y2 ) )->( ( 1 , 4/2 ),( 4/2 , -1 ) )$

Hai capito?

[marcodedomenico]

Si grazie

[Jonhson91]

"m4551":Fatti questo prodotto tra matrici

$( ( x^2 , (xy)/2 ),( (xy)/2 , y2 ) ) * ( ( -(x/2) ),( -(y/2) ) )$

Ed avrai il centro della conica.
Poi prosegui come ti ho scritto in precedenza

Scusa ma come si fa il prodotto fra queste due matrici? Non ottengo una matrice 2x1?
Non capisco

Perchè se provo a farlo con questa iperbole: $ x^2-4xy+y^2-2x-6y=0 $

mi viene di centro (-5, 1) che però non è giusto. Dove sbaglio?

[byob12]

se non sai fare il prodotto tra matrici, il centro di una conica lo puoi ricavare dalle derivate parziali dell'equazione della conica.
ovvero data la conica $\Gamma$ di equazione: $\Gamma : f(x,y)=a_11X^2+a_12XY+a_22Y^2+a_13X+a_23Y+a_33=0$
il centro C della conica $\Gamma$ sara la soluzione del seguente sistema lineare:
$\{((delf)/(delx)=0),((delf)/(dely)=0):} => \{(2a_11X+a_12Y+a_13=0),(a_12X+2a_22Y+a_23=0):} => ...$

lascio a te i conti.