Asintoti iperbole rototraslata

[df2]

come faccio a trovare gli asintoti di una iperbole rototraslata, so come traslare (completamento del quadrato) e ruotare(diagonalizzazione) e quindi poi trovare gli asintoti non è difficile, ma successivamente come facico a traslare e ruotare gli asintoti?

l'iperbole è questa: $2x^2-2y^2+2xy+10y=0$

grazie

[df2]

ho trovato l'eq canonica:

$sqrt(5) x^2 - sqrt(5)y^2 +10=0$

$sqrt(5) x^2 - sqrt(5)y^2 =-10$

$-(sqrt(5)/10) x^2 + (sqrt(5)/10)y^2 = 1$

è equilatera

$y= +- x $

ma ora come faccio a rototraslarli???

sarei capace a traslarli, ma a ruotarli proprio non ne ho idea

grazie

[franced]

"df":l'iperbole è questa: $2x^2-2y^2+2xy+10y=0$
grazie

Prima di tutto dividiamo tutto per 2:

$x^2 - y^2 + xy + 5y = 0$

il centro della conica è in $C = (-1 ; 2)$

(basta fare il calcolo)

[franced]

"df":
è equilatera

Per vedere se una data iperbole è equilatera basta guardare la traccia del
minore $2 times 2$: se è zero l'iperbole è equilatera, a meno di casi
particolari. Es: $x^2-y^2=0$

[franced]

"franced":[quote="df"]l'iperbole è questa: $2x^2-2y^2+2xy+10y=0$
grazie

Prima di tutto dividiamo tutto per 2:

$x^2 - y^2 + xy + 5y = 0$

il centro della conica è in $C = (-1 ; 2)$

(basta fare il calcolo)[/quote]


Visto che l'iperbole è equilatera, posso dire che

$x^2 - y^2 + xy + 5y = 0$

è equivalente a:

$(x + 1 + a(y - 2)) cdot (x+1 - 1/a (y-2)) = k$

svolgendo i calcoli si trova:

$a = (1 pm sqrt(5))/2$ ; $k = -5$ .

Quindi l'iperbole è scrivibile come:

$(x + 1 + a(y - 2)) cdot (x+1 - 1/a (y-2)) = -5$

dove $a = (1 + sqrt(5))/2$.

Gli asintoti sono:

$x + 1 + (1 + sqrt(5))/2 (y - 2) = 0$

$x + 1 + (1 - sqrt(5))/2 (y - 2) = 0$

salvo errori di calcolo..

[Studente Anonimo]

"df":sarei capace a traslarli, ma a ruotarli proprio non ne ho idea

Scusa ma non capisco: ruotarli di quanto? Per ottenere cosa?

[franced]

"df":
l'iperbole è questa: $2x^2-2y^2+2xy+10y=0$

Si può anche procedere così:

si ignorano i termini lineari (in questo caso c'è solo $10y$);

si divide per $x^2$:

$ 1/(x^2) cdot (2x^2-2y^2+2xy) = 0$

ottenendo così:

$2 - 2 (y/x)^2 + 2 (y/x) = 0$

si pone $t = y/x$ e si risolve l'equazione di secondo grado:

$2 - 2 t^2 + 2t = 0$

le due pendenze degli asintoti sono le due radici dell'equazione.

[franced]

"franced":[quote="df"]
l'iperbole è questa: $2x^2-2y^2+2xy+10y=0$

ottenendo così:

$2 - 2 (y/x)^2 + 2 (y/x) = 0$

si pone $t = y/x$ e si risolve l'equazione di secondo grado:

$2 - 2 t^2 + 2t = 0$

le due pendenze degli asintoti sono le due radici dell'equazione.[/quote]

Chiaramente, calcolando il centro dell'iperbole è possibile avere le due equazioni
degli asintoti.