Asintoti iperbole
Salve a tutti..
avrei bisogno di capire come determinare gli asintoti dell'perbole nella seguente forma:
X² + 5xy -14y² + 4x - 4y + 17 = 0
grazie dell aiuto e dell'attenzione
n
avrei bisogno di capire come determinare gli asintoti dell'perbole nella seguente forma:
X² + 5xy -14y² + 4x - 4y + 17 = 0
grazie dell aiuto e dell'attenzione
n
Risposte
Secondo me può aiutare riscriverla usando opportune variabili $z,w$ in modo che risulti della forma $a z^2-b w^2=c$ dove $a,b,c$ sono costanti e $a,b>0$. Infatti se per esempio $c>0$ allora gli asintoti di $a z^2-b w^2=c$ sono $w = pm sqrt{a/b} z$.
"Martino":
Secondo me può aiutare riscriverla usando opportune variabili $z,w$ in modo che risulti della forma $a z^2-b w^2=c$ dove $a,b,c$ sono costanti e $a,b>0$. Infatti se per esempio $c>0$ allora gli asintoti di $a z^2-b w^2=c$ sono $w = pm sqrt{a/b} z$.
E' più veloce, invece, procedere in questo modo:
si cercano i punti impropri dell'iperbole e si calcolano le polari.
L'iperbole
$x^2 + 5xy -14y^2 + 4x - 4y + 17 = 0$ ,
scritta in coordinate omogenee, risulta avere l'equazione
$x_1^2 + 5 x_1 x_2 - 14 x_2^2 + 4 x_1 x_3 - 4 x_2 x_3 + 17 x_3^2 = 0$ .
I punti impropri sono
$(7,-1,0)$ e $(2,1,0)$
e le rispettive polari hanno equazione
$(x,y,1) ((2, 5, 4), (5, -28, -4), (4, -4, 34)) ((7),(-1),(0)) = 0$ da cui $9 x + 63 y + 32 = 0$
$(x,y,1) ((2, 5, 4), (5, -28, -4), (4, -4, 34)) ((2),(1),(0)) = 0$ da cui $9 x - 18 y + 4 = 0$ .
Per la cronaca, il centro dell'iperbole si trova nel punto
$C = (-92/81 , -28/81)$ .
$x^2 + 5xy -14y^2 + 4x - 4y + 17 = 0$ ,
scritta in coordinate omogenee, risulta avere l'equazione
$x_1^2 + 5 x_1 x_2 - 14 x_2^2 + 4 x_1 x_3 - 4 x_2 x_3 + 17 x_3^2 = 0$ .
I punti impropri sono
$(7,-1,0)$ e $(2,1,0)$
e le rispettive polari hanno equazione
$(x,y,1) ((2, 5, 4), (5, -28, -4), (4, -4, 34)) ((7),(-1),(0)) = 0$ da cui $9 x + 63 y + 32 = 0$
$(x,y,1) ((2, 5, 4), (5, -28, -4), (4, -4, 34)) ((2),(1),(0)) = 0$ da cui $9 x - 18 y + 4 = 0$ .
Per la cronaca, il centro dell'iperbole si trova nel punto
$C = (-92/81 , -28/81)$ .
"franced":
scritta in coordinate omogenee, risulta avere l'equazione
$x_1^2 + 5 x_1 x_2 - 14 x_2^2 + 4 x_1 x_3 - 4 x_2 x_3 + 17 x_3^2 = 0$ .
Qualcuno forse non sa come si trovano i punti impropri;
ecco come si fa:
si cerca l'intersezione della conica con la retta impropria $x_3=0$:
${(x_1^2 + 5 x_1 x_2 - 14 x_2^2 + 4 x_1 x_3 - 4 x_2 x_3 + 17 x_3^2 = 0),(x_3=0):}$
quindi otteniamo
${(x_1^2 + 5 x_1 x_2 - 14 x_2^2 = 0),(x_3=0):}$
dividendo per $x_1^2$ ($\ne 0$) si ottiene:
${(-14 ((x_2)/(x_1))^2 + 5 (x_2)/(x_1) + 1 = 0),(x_3=0):}$
e quindi i punti impropri che ho scritto nel messaggio precedente.
...adesso ho capito.
Grazie mille !
Grazie mille !
"idem":
...adesso ho capito.
Grazie mille !
Prego!
un'ultima osservazione.
Sto osservando il procedimento attraverso il quale si determinano le equazioni dele polari...
potrebbe chiarirmi le prime due matrici?
notavo ad esempio che la seconda non è la matrice della conica (a meno che non mi sbagli)
La terza matrice invece è più che chiara adesso.
grazie.
Sto osservando il procedimento attraverso il quale si determinano le equazioni dele polari...
potrebbe chiarirmi le prime due matrici?
notavo ad esempio che la seconda non è la matrice della conica (a meno che non mi sbagli)
La terza matrice invece è più che chiara adesso.
grazie.
...non è piu necessario il chiarimento!
ho capito.
grazie ancora!
ho capito.
grazie ancora!
"idem":
...potrebbe chiarirmi le prime due matrici?...
Non sono altro che la matrice della conica moltiplicata per 2, per non avere denominatori e facilitare i calcoli.
..in effetti l'unico dubbio riguarda la prima matrice e gli elementi della prima riga e della prima colonna della seconda..
"@melia":
[quote="idem"]...potrebbe chiarirmi le prime due matrici?...
Non sono altro che la matrice della conica moltiplicata per 2, per non avere denominatori e facilitare i calcoli.[/quote]
Infatti..
quando è possibile evito le frazioni!
"franced":
[quote="franced"]scritta in coordinate omogenee, risulta avere l'equazione
$x_1^2 + 5 x_1 x_2 - 14 x_2^2 + 4 x_1 x_3 - 4 x_2 x_3 + 17 x_3^2 = 0$ .
Qualcuno forse non sa come si trovano i punti impropri;
ecco come si fa:
si cerca l'intersezione della conica con la retta impropria $x_3=0$:
${(x_1^2 + 5 x_1 x_2 - 14 x_2^2 + 4 x_1 x_3 - 4 x_2 x_3 + 17 x_3^2 = 0),(x_3=0):}$
quindi otteniamo
${(x_1^2 + 5 x_1 x_2 - 14 x_2^2 = 0),(x_3=0):}$
dividendo per $x_1^2$ ($\ne 0$) si ottiene:
${(-14 ((x_2)/(x_1))^2 + 5 (x_2)/(x_1) + 1 = 0),(x_3=0):}$
e quindi i punti impropri che ho scritto nel messaggio precedente.[/quote]
Salve a tutti, anche a me è capitato un esercizio del genere sull'iperbole ma, dopo aver messo a sistema l'equazione della conica in coordinate omogenee con la retta impropria x3=0 non so come risolvere il sistema. Qualcuno potrebbe aiutarmi, magari svolgendo anche i passaggi del sistema nel post precedente?
Grazieee
Nessuno che mi risponde?? 
$x^2/y^2+5x/y-14=0$ da cui $x/y={-5\pm 9}/{2}$ dunque per y=1 si ha $x_1=-7$ e $x_2=2$ da cui le direzioni degli asintoti $A(2,1,0)$ e $B(-7,1,0)$.
Ora, a me restano dei dubbi:
I punti impropri determinati coincidono con i vettori che danno la direzione degli asintoti per definizione di punto improprio? Una volta determinati i punti impropri, come si ricavano le equazioni dei due asintoti?
Ora, a me restano dei dubbi:
I punti impropri determinati coincidono con i vettori che danno la direzione degli asintoti per definizione di punto improprio? Una volta determinati i punti impropri, come si ricavano le equazioni dei due asintoti?
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