Asintoti iperbole

[alfiere15]

Ragazzi, buonasera!
In un contesto di geometria proiettiva, posso considerare gli asintoti di un'iperbole come le rette congiungenti i punti all'infinito della conica con il centro della stessa?

[Antimius]

Esattamente. Infatti puoi trovare le loro direzioni intersecando la conica nel piano proiettivo con la retta all'infinito.

[alfiere15]

E perché a me non riesce?
Io ho la conica: $2x^2 -y^2 +2x*y -3y -1=0$ in coordinate non omogenee.
Considero la matrice:
\begin{pmatrix}
2 & 1 & 0\\
1 & -1 & -3/2\\
0 & -3/2 & -1
\end{pmatrix}
Il centro è $[1/2, -1, 1/2]$
Per determinare i punti all'infinito, considero l'intersezione della conica con la retta impropria $z=0$, ottenendo l'equazione:
$2x^2 -y^2 +2x*y =0$
Considerando $x$ come variabile, ottengo i punti:
$[(-1-sqrt(3))/2, 1, 0]$ e $[(-1+sqrt(3))/2, 1, 0]$
Per determinare gli asintoti, considero l'annullarsi del determinante della matrice
\begin{pmatrix}
x & y & z\\
(-1-sqrt(3))/2 & 1 & 0\\
1/2 & -1 & 1/2
\end{pmatrix}
Ma non mi ritrovo con le rette date dalla soluzione del libro...

[spugna2]

Mi sa che hai sbagliato a trovare le coordinate del centro: a me viene $[1,-2,2]$.

PS: una volta trovati i punti all'infinito, gli asintoti sono le rette tangenti all'iperbole in tali punti.