Asintoti iperbole

[Meringolo1]

Salve a tutti,
avrei bisogno di capire meglio come trovare i punti impropri di una conica (so già che è un'iperbole)

Mi scrivo la conica in coordinate omogenee e interseco con la retta impropria.
Arrivo a qualcosa del genere:

$x_1^2+5x_1x_2-14x_2^2=0$
Ora dovrei trovarmi 2 soluzioni del tipo $\{(x_1=a),( x_2=b),( x_3=0):}$
ma rispetto a cosa devo risolvere, e in che modo?

[Meringolo1]

altro esempio:

dopo aver fatto

$\{(x_1^2+4x_1x_2+2x_2x_3+x_3),(x_3=0):}$

mi rimane

$x_1^2+4x_1x_2=0$

cioè $x_1(x_1+4x_2)=0$

Ho due soluzioni: $x_1=0, x_1+4x_2=0$

Per il primo punto all'infinito pongo $x_2=t$
$\{(x_1=0),(x_2=t),(x_3=0):}$

Per il secondo punto all'infinito invece
$\{(x_1+4x_2=0),(x_2=t),(x_3=0):}$

da cui mi ricavo 2 basi
$((0),(1),(0))$
$((-4),(1),(0))$

é corretto risolvere tutto in funzione di $x_1$?

[Meringolo1]

mi basta un si

[quantunquemente]

concordo,solo che in questo caso non userei il termine base visto che i punti impropri quelli sono

[Meringolo1]

quindi per entrambi i punti pongo $x_2 =t$ e ricavo $x_1$ secondo le due soluzioni, è corretto?

[quantunquemente]

sì

[Meringolo1]

grazie

[Meringolo1]

Una domanda: nel primo esempio avevo il termine $x_2^2$, come faccio a scrivermelo in funzione di $x_1$?
Devo dividere tutto per $x_1$ e raccogliere?
Cioè:
$x_1^2+5x_1x_2-14x_2^2=0$
diventa
$x_1(x_1+5x_2-14x_2^2/x_1)=0$

da cui le due radici

$x_1=0$
$x_1=-x_2/x_1+14x_2$

e poi pongo sempre $x_2=t$

[quantunquemente]

$x_1=0$ non va bene perchè ti dà $x_2=0$
si può fare anche così : dividere tutto per $x_1^2$ ottenendo l'equazione
$1+5x_2/x_1-14(x_2/x_1)^2=0$

una volta che hai trovato i 2 valori di $x_2/x_1$ ,dai ad $x_1$ valore $1$ e ricavi la corrispondente $x_2$

[Meringolo1]

ok, dunque la mia equazione $x_1^2+5x_1x_2-14x_2^2$ diventa

$1+5(x_2/x_1)-14(x_2/x_1)^2$

Pongo $x_2/x_1=alpha$

$-14alpha^2+5alpha+1=0$

Le due soluzioni sono $ alpha_1=-1/7, alpha_2=1/2$

Ponendo $x_1=1$ ho le stesse radici di $alpha $ per $x_2$

$P_(infty,1) \{(x_1=1),(x_2=-1/7),(x_3=0):}$ direzione $(1,-1/7,0)$

$P_(infty,2)\{(x_1=1),(x_2=1/2),(x_3=0):}$ direzione $(1,1/2,0)$