Asintoti di un'iperbole
Salve a tutti, studiando la teoria delle coniche mi è sorto un dubbio riguardante gli asintoti di un'iperbole .
Da un punto di vista geometrico l'asintoto di una conica è una retta propria tangente ad essa(alla conica).Ogni iperbole ammette due asintoti che si ottengono come rette polari dei due punti impropri dell'iperbole.Le coordinate proiettive di questi punti impropri $P_(1oo)=(lambda_1,mu_1,0) , P_(2oo)=(lambda_2,mu_2,0)$ sono soluzioni dell'equazione che si ottiene intersecando l'equazione di una conica in coordinate proiettive con la retta impropria $x_3=0 $.
A questo punto dovrei calcolare le polari per i due punti impropri e io fare cosi per il primo punto improprio :
RETTA POLARE DI $P_(1OO)$ : $ (lambda_1,mu_1,0)A $$ ( ( x^1 ),( x^2 ),( x^3 ) ) = 0 $
Nel libro invece trovo scritto :$ (-a_(12)+sqrt(-A_(33)), a_11, 0 ))A ( ( x^1 ),( x^2 ),( x^3 ) ) = 0 $
Come mai? Cosa sbaglio ? Ha scritto la stessa cosa ma calcolandosi esplicitamente le coordinate dei punti impropri?
P. S. Lo stesso discorso va fatto per il secondo punto improprio
Da un punto di vista geometrico l'asintoto di una conica è una retta propria tangente ad essa(alla conica).Ogni iperbole ammette due asintoti che si ottengono come rette polari dei due punti impropri dell'iperbole.Le coordinate proiettive di questi punti impropri $P_(1oo)=(lambda_1,mu_1,0) , P_(2oo)=(lambda_2,mu_2,0)$ sono soluzioni dell'equazione che si ottiene intersecando l'equazione di una conica in coordinate proiettive con la retta impropria $x_3=0 $.
A questo punto dovrei calcolare le polari per i due punti impropri e io fare cosi per il primo punto improprio :
RETTA POLARE DI $P_(1OO)$ : $ (lambda_1,mu_1,0)A $$ ( ( x^1 ),( x^2 ),( x^3 ) ) = 0 $
Nel libro invece trovo scritto :$ (-a_(12)+sqrt(-A_(33)), a_11, 0 ))A ( ( x^1 ),( x^2 ),( x^3 ) ) = 0 $
Come mai? Cosa sbaglio ? Ha scritto la stessa cosa ma calcolandosi esplicitamente le coordinate dei punti impropri?
P. S. Lo stesso discorso va fatto per il secondo punto improprio
Risposte
Mah, non so, puoi fare un esempio? Se prendiamo l'iperbole \(xy=1\), quale equazione si ottiene con la tua formula, e quale si ottiene con la formula del libro? Forse con \(x^2-y^2=1\) vengono conti più semplici.
"dissonance":
Mah, non so, puoi fare un esempio? Se prendiamo l'iperbole \(xy=1\), quale equazione si ottiene con la tua formula, e quale si ottiene con la formula del libro? Forse con \(x^2-y^2=1\) vengono conti più semplici.
Ora ci provo, probabilmente il libro al posto di $lambda_1$ mette quella quantità li che è il valore calcolato di $x_1$, cioè il primo numero della terna del punto improprio.
Non lo so, la formula l'hai scritta tu. Si, sopra hai scritto due punti impropri. Secondo me facendo qualche conto verrà fuori che le due formule sono uguali. Ma ti devi sporcare un minimo le mani.
"dissonance":provo a ricavare gli asintoti in tutti e due modi e vediamo cosa viene fuori
Non lo so, la formula l'hai scritta tu. Si, sopra hai scritto due punti impropri. Secondo me facendo qualche conto verrà fuori che le due formule sono uguali. Ma ti devi sporcare un minimo le mani.
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