Asintoti di una conica
Determinare i parametri direttori degli asintoti dell’iperbole \(\displaystyle x^2 − 5xy + 6y^2 + 4x + 6y = 0 \) vorrei sapere un metodo per risolvere questo esercizio visto che, con quello che uso io gli asintoti non si possono trovare,mi spiego meglio:
secondo il mio libro di geometria i parametri direttori degli asintodi di un'iperbole si trovano con questa formula: \(\displaystyle a_{11}l^2 + a_{12}lm + a_{22}m^2 \) dove \(\displaystyle l,m \) sono i parametri direttori degli asintodi e \(\displaystyle a_{11} , a_{12} , a_{22} \) sono i rispettivi coefficenti della \(\displaystyle x^2 , xy , y^2 \) . Mettendo \(\displaystyle m=1 \) e poi risolvendo l'equazione in \(\displaystyle l \) ricavo una equazione di secondo grado di cui il \(\displaystyle \Delta \) esce negativo. e da qui in poi non posso più andare avanti visto che non posso dare la soluzione attraverso i numeri complessi..qualcuno mi può dire dove sbaglio o magari indicarmi qualche altro metodo di risoluzione? Grazie
secondo il mio libro di geometria i parametri direttori degli asintodi di un'iperbole si trovano con questa formula: \(\displaystyle a_{11}l^2 + a_{12}lm + a_{22}m^2 \) dove \(\displaystyle l,m \) sono i parametri direttori degli asintodi e \(\displaystyle a_{11} , a_{12} , a_{22} \) sono i rispettivi coefficenti della \(\displaystyle x^2 , xy , y^2 \) . Mettendo \(\displaystyle m=1 \) e poi risolvendo l'equazione in \(\displaystyle l \) ricavo una equazione di secondo grado di cui il \(\displaystyle \Delta \) esce negativo. e da qui in poi non posso più andare avanti visto che non posso dare la soluzione attraverso i numeri complessi..qualcuno mi può dire dove sbaglio o magari indicarmi qualche altro metodo di risoluzione? Grazie
Risposte
"tupac":
Determinare i parametri direttori degli asintoti dell’iperbole \(\displaystyle x^2 − 5xy + 6y^2 + 4x + 6y = 0 \) vorrei sapere un metodo per risolvere questo esercizio visto che, con quello che uso io gli asintoti non si possono trovare,mi spiego meglio:
secondo il mio libro di geometria i parametri direttori degli asintodi di un'iperbole si trovano con questa formula: \(\displaystyle a_{11}l^2 + a_{12}lm + a_{22}m^2 \) dove \(\displaystyle l,m \) sono i parametri direttori degli asintodi e \(\displaystyle a_{11} , a_{12} , a_{22} \) sono i rispettivi coefficenti della \(\displaystyle x^2 , xy , y^2 \) . Mettendo \(\displaystyle m=1 \) e poi risolvendo l'equazione in \(\displaystyle l \) ricavo una equazione di secondo grado di cui il \(\displaystyle \Delta \) esce negativo. e da qui in poi non posso più andare avanti visto che non posso dare la soluzione attraverso i numeri complessi..qualcuno mi può dire dove sbaglio o magari indicarmi qualche altro metodo di risoluzione? Grazie
Ad esempio:
$ x^2 − 5xy + 6y^2 + 4x + 6y = 0 $
Se raggruppiamo la y:
$ 6y^2 +(− 5x + 6)y + 4x +x^2 = 0 $
da cui $y=(5x-6\pm \sqrt(25x^2-60x+36-24x^2+96x))/(12)=(5x-6\pm \sqrt(x^2+36x+36))/(12)$
Se mandi x all'infinito hai come asintoti
$y=(x-1)/(2)$ e $y=(2x-3)/(6)$
Grazie per la risposta. avrei un'ultima domanda, questo metodo lo posso usare ogni volta che mi vengono chiesti gli asintoti?
Gli asintoti sono le polari dei punti impropri. La conica \( x^2-5xy+6y+4x+6y=0\) ha come punti impropri:
\( P=(2,1,0)\) e \( Q=(3,1,0)\)
La polare in \( P \) è:
\( 2x-\frac{5}{2}(x+2y)+6y+2(0+2)+3(0+1)=0, x-2y-14=0\)
La polare in \(Q\) è:
\( 3x-\frac{5}{2}(x+3y)+6y+2(0+3)+3(0+1)=0, x-3y+18=0\)
\( P=(2,1,0)\) e \( Q=(3,1,0)\)
La polare in \( P \) è:
\( 2x-\frac{5}{2}(x+2y)+6y+2(0+2)+3(0+1)=0, x-2y-14=0\)
La polare in \(Q\) è:
\( 3x-\frac{5}{2}(x+3y)+6y+2(0+3)+3(0+1)=0, x-3y+18=0\)
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