Asintoti curva parametrizzata
qualcuno saprebbe spiegarmi come calcolare gli eventuali asintoti di una curva parametrizzata? c'è qualche metodo generale come per le funzioni o dipende da curva a curva? sotto quali condizioni esistono l'asintoto obliquo, verticale o orizzontale? il dubbio mi è nato nello studio del folium di cartesio e della cissoide. in quest'ultimo caso l'ho calcolato in maniera analoga alle funzioni ma non riesco a farlo nel caso del folium (o in un caso più generale). grazie
Risposte
Se x(t), y(t) sono funzioni di t almeno di classe 1 in un dato intervallo [a,b], allora affinché la curva di equazioni :
\(\displaystyle x=x(t),y=y(t) \) abbia :
A) un asintoto orizzontale \(\displaystyle y=h \), è necessario e sufficiente che risulti :
\(\displaystyle \lim_{t->t_o}x(t)=\mp\infty \)
\(\displaystyle \lim_{t->t_o}y(t)=h \)
\(\displaystyle \lim_{t->t_o}x(t)\frac{y'(t)}{x'(t)}=0 \)
B) un asintoto verticale \(\displaystyle x=k \), è necessario e sufficiente che risulti :
\(\displaystyle \lim_{t->t_o}y(t)=\mp\infty \)
\(\displaystyle \lim_{t->t_o}x(t)=k \)
\(\displaystyle \lim_{t->t_o}y(t)\frac{x'(t)}{y'(t)}=0 \)
C) un asintoto obliquo \(\displaystyle y=mx+p \), è necessario e sufficiente che risulti :
\(\displaystyle \lim_{t->t_o}x(t)=\mp\infty \)
\(\displaystyle \lim_{t->t_o}y(t)=\mp\infty \)
\(\displaystyle \lim_{t->t_o}\frac{y'(t)}{x'(t)}=m \)
\(\displaystyle \lim_{t->t_o}\left[ y(t)-x(t)\frac{y'(t)}{x'(t)} \right] =p \)
dove \(\displaystyle t_o \) è un opportuno valore di t appartenente ad [a,b]
Ora l'equazione cartesiana del folium Cartesii è :
\(\displaystyle x^3+y^3-3axy=0 \) [o equivalentemente \(\displaystyle x^3+y^3-axy=0 \) ]
e le equazioni parametriche sono :
\(\displaystyle x=3a\frac{t}{1+t^3},y=3a\frac{t^2}{1+t^3} \)
Come si vede c'è da considerare solo il valore \(\displaystyle t_o=-1 \) che porta però all'infinito entrambe le coordinate x,y. Pertanto la curva non ha asintoti orizzontali o verticali. Applicando invece le formule precedenti relative agli asintoti obliqui, si trova l'asintoto obliquo \(\displaystyle x+y+a=0 \)
\(\displaystyle x=x(t),y=y(t) \) abbia :
A) un asintoto orizzontale \(\displaystyle y=h \), è necessario e sufficiente che risulti :
\(\displaystyle \lim_{t->t_o}x(t)=\mp\infty \)
\(\displaystyle \lim_{t->t_o}y(t)=h \)
\(\displaystyle \lim_{t->t_o}x(t)\frac{y'(t)}{x'(t)}=0 \)
B) un asintoto verticale \(\displaystyle x=k \), è necessario e sufficiente che risulti :
\(\displaystyle \lim_{t->t_o}y(t)=\mp\infty \)
\(\displaystyle \lim_{t->t_o}x(t)=k \)
\(\displaystyle \lim_{t->t_o}y(t)\frac{x'(t)}{y'(t)}=0 \)
C) un asintoto obliquo \(\displaystyle y=mx+p \), è necessario e sufficiente che risulti :
\(\displaystyle \lim_{t->t_o}x(t)=\mp\infty \)
\(\displaystyle \lim_{t->t_o}y(t)=\mp\infty \)
\(\displaystyle \lim_{t->t_o}\frac{y'(t)}{x'(t)}=m \)
\(\displaystyle \lim_{t->t_o}\left[ y(t)-x(t)\frac{y'(t)}{x'(t)} \right] =p \)
dove \(\displaystyle t_o \) è un opportuno valore di t appartenente ad [a,b]
Ora l'equazione cartesiana del folium Cartesii è :
\(\displaystyle x^3+y^3-3axy=0 \) [o equivalentemente \(\displaystyle x^3+y^3-axy=0 \) ]
e le equazioni parametriche sono :
\(\displaystyle x=3a\frac{t}{1+t^3},y=3a\frac{t^2}{1+t^3} \)
Come si vede c'è da considerare solo il valore \(\displaystyle t_o=-1 \) che porta però all'infinito entrambe le coordinate x,y. Pertanto la curva non ha asintoti orizzontali o verticali. Applicando invece le formule precedenti relative agli asintoti obliqui, si trova l'asintoto obliquo \(\displaystyle x+y+a=0 \)
Grazie mille 
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