Arrangement di \( n \) sottospazi
Ciao. Dico che due sottospazi \( W_1 \) e \( W_1^\prime \) di uno spazio vettoriale \( V \) sono disposti allo stesso modo (o che hanno lo stesso arrangement) se c'è un automorfismo che manda un nell'altro. Analogamente dico che le coppie di sottospazi \( (W_1,W_2) \) e \( (W_1^\prime,W_2^\prime) \) sono disposte allo stesso modo se c'è un automorfismo \( \varphi \) tale che \( \varphi_*(W_i) = W_i \), per \( i = 1,2 \).
Perché due soli sottospazi abbiano lo stesso arrangement è necessario e sufficiente che essi abbiano le stesse dimensioni. Questo non basta nel caso di due coppie di sottospazi: c'è un automorfismo che mappa un sottospazio \( W_i \) in \( W_i^\prime \) se e solo se, oltre che le dimensioni dei singoli sottospazi, coincidono anche le dimensioni delle intersezioni \( W_1\cap W_2 \) e \( W_1^\prime\cap W_2^\prime \).
Che cosa si può dire per \( 3 \), \( 4 \), ecc. fino a \( n \) sottospazi di \( V \)?
Date due \( n \)-uple \( (W_1,\dots,W_n) \) e \( (W_1^\prime,\dots,W_n^\prime) \) preservate da un automorfismo, per ogni \( j = 1,\dots,n \) è sempre
\[
\dim W_j\cap\left(\sum_{j\neq i}W_i\right) = \dim W_j^\prime\cap\left(\sum_{j\neq i}W_i^\prime\right)
\] Pensando a ciò, ho provato a vedere se fosse proprio la relazione qui sopra la condizione sufficiente a definire un automorfismo in grado di preservarle. Però mi sono bloccato :c
Se (intanto supponiamo che \( \dim W_i = \dim W_i^\prime \), e) vale \( \dim W_j\cap\left(\sum_{j\neq i}W_i\right) = \dots = 0 \), le somme \( W = \sum_{i = 1}^nW_i \) e \( W^\prime = \sum_{i = 1}^nW_i^\prime \) sono dirette: data una famiglia \( \{w_{ki}\}_{k = i}^{s_i} \), per \( i = 1,\dots,n \), di basi di ciascun \( W_i \), e un'analoga famiglia \( \{w_{ki}^\prime\}_{k = 1}^{s_i^\prime} \) di basi di ciascun \( W_i^\prime \), sarà
\[
\left\lvert\bigcup_{i = 1}^n\{e_{ki}\}_{k = 1}^{s_i}\right\rvert = \dim\sum_{i = 1}^nW_i = \sum_{i = 1}^n\dim W_i
\] tanto che posso definire un'applicazione lineare \( \varphi\colon V\to V \) estendendo l'applicazione lineare \( \bigoplus_{i = 1}^nW_i\to\bigoplus_{i = 1}^nW_i^\prime \) che mappa \( w_{ki}\mapsto w_{ki}^\prime \). \( \square \)
Come si potrebbe procedere nel caso \( \dim W_j\cap\left(\sum_{i\neq j}W_i\right)\neq 0 \)?
Perché due soli sottospazi abbiano lo stesso arrangement è necessario e sufficiente che essi abbiano le stesse dimensioni. Questo non basta nel caso di due coppie di sottospazi: c'è un automorfismo che mappa un sottospazio \( W_i \) in \( W_i^\prime \) se e solo se, oltre che le dimensioni dei singoli sottospazi, coincidono anche le dimensioni delle intersezioni \( W_1\cap W_2 \) e \( W_1^\prime\cap W_2^\prime \).
Che cosa si può dire per \( 3 \), \( 4 \), ecc. fino a \( n \) sottospazi di \( V \)?
Date due \( n \)-uple \( (W_1,\dots,W_n) \) e \( (W_1^\prime,\dots,W_n^\prime) \) preservate da un automorfismo, per ogni \( j = 1,\dots,n \) è sempre
\[
\dim W_j\cap\left(\sum_{j\neq i}W_i\right) = \dim W_j^\prime\cap\left(\sum_{j\neq i}W_i^\prime\right)
\] Pensando a ciò, ho provato a vedere se fosse proprio la relazione qui sopra la condizione sufficiente a definire un automorfismo in grado di preservarle. Però mi sono bloccato :c
Se (intanto supponiamo che \( \dim W_i = \dim W_i^\prime \), e) vale \( \dim W_j\cap\left(\sum_{j\neq i}W_i\right) = \dots = 0 \), le somme \( W = \sum_{i = 1}^nW_i \) e \( W^\prime = \sum_{i = 1}^nW_i^\prime \) sono dirette: data una famiglia \( \{w_{ki}\}_{k = i}^{s_i} \), per \( i = 1,\dots,n \), di basi di ciascun \( W_i \), e un'analoga famiglia \( \{w_{ki}^\prime\}_{k = 1}^{s_i^\prime} \) di basi di ciascun \( W_i^\prime \), sarà
\[
\left\lvert\bigcup_{i = 1}^n\{e_{ki}\}_{k = 1}^{s_i}\right\rvert = \dim\sum_{i = 1}^nW_i = \sum_{i = 1}^n\dim W_i
\] tanto che posso definire un'applicazione lineare \( \varphi\colon V\to V \) estendendo l'applicazione lineare \( \bigoplus_{i = 1}^nW_i\to\bigoplus_{i = 1}^nW_i^\prime \) che mappa \( w_{ki}\mapsto w_{ki}^\prime \). \( \square \)
Come si potrebbe procedere nel caso \( \dim W_j\cap\left(\sum_{i\neq j}W_i\right)\neq 0 \)?
Risposte
Il motivo per cui ti serve la condizione sulle intersezioni è che un isomorfismo \(\varphi_i : W_i \to W_i'\) deve anche indurre un isomorfismo \(\varphi|_{ij} : W_i\cap W_j \to W_i'\cap W_j'\); da questo segue che una condizione sufficiente affinché due tuple \((W_1,\dots,W_n)\) e \((W_1',\dots,W_n')\) siano disposte allo stesso modo è che per ogni \(1\le k\le n\) e ogni scelta di indici \((i_1,\dots,i_k)\) si abbia un isomorfismo \(\varphi_{i_1,\dots,i_k} : W_{i_1,\dots,i_k} \to W'_{i_1,\dots,i_k}\). (Ovviamente \(W_{i_1,\dots,i_k} := W_{i_1}\cap\dots\cap W_{i_k}\)).
Del resto questa condizione è anche necessaria: supponi che le dimensioni di \(W_{i_1,\dots,i_k}\) e \(W'_{i_1,\dots,i_k}\) siano diverse; per esempio (solo per fissare le idee), supponi che la seconda sia zero perché \(W'_{i_1}\) è in somma diretta con \(W'_{i_2,\dots,i_k}\). Allora \(\varphi_{i_1}\) ha \(W_{i_1,\dots,i_k}\supsetneq \langle 0\rangle\) nel nucleo, come fa a essere un isomorfismo?
Del resto questa condizione è anche necessaria: supponi che le dimensioni di \(W_{i_1,\dots,i_k}\) e \(W'_{i_1,\dots,i_k}\) siano diverse; per esempio (solo per fissare le idee), supponi che la seconda sia zero perché \(W'_{i_1}\) è in somma diretta con \(W'_{i_2,\dots,i_k}\). Allora \(\varphi_{i_1}\) ha \(W_{i_1,\dots,i_k}\supsetneq \langle 0\rangle\) nel nucleo, come fa a essere un isomorfismo?
Una maniera alternativa, che chiarisce la necessità e sufficienza della condizione: una tupla \((W_1,\dots,W_n)\) di spazi vettoriali è equivalente al dato di un diagramma
dove le frecce che vanno verso destra sono indotte dalle proiezioni di uno spazio che risulta da una intersezione \(k\)-upla su un sottospazio che risulta da una intersezione \((k-1)\)-upla, e quelle che vanno verso sinistra sono indotte dall'inclusione di un sottospazio che risulta da una intersezione \((k-1)\)-upla in uno spazio che risulta da una intersezione \(k\)-upla.
Ora, dati due di questi diagrammi
le tuple \((W_i)\) e \((W_i')\) che essi rappresentano sono "disposte allo stesso modo" se e solo se sono naturalmente isomorfi mediante \(\{\varphi_{i_1,\dots,i_k} : W_{i_1,\dots, i_k} \to W'_{i_1,\dots,i_k}\}\).
[tex]\xymatrix{
\displaystyle\bigoplus_{i=1}^n W_i \ar@<4pt>[r]\ar@<-4pt>[r] & \ar[l] \displaystyle\bigoplus_{i_1 < i_2} W_{i_1i_2} \ar[r]\ar@<8pt>[r]\ar@<-8pt>[r]& \ar@<4pt>[l]\ar@<-4pt>[l]\displaystyle\bigoplus_{i_1 < i_2< i_3} W_{i_1i_2i_3} \ar@<4pt>[r]\ar@<-4pt>[r] \ar@<12pt>[r]\ar@<-12pt>[r]& \cdots \ar[l]\ar@<8pt>[l]\ar@<-8pt>[l]
}[/tex]
\displaystyle\bigoplus_{i=1}^n W_i \ar@<4pt>[r]\ar@<-4pt>[r] & \ar[l] \displaystyle\bigoplus_{i_1 < i_2} W_{i_1i_2} \ar[r]\ar@<8pt>[r]\ar@<-8pt>[r]& \ar@<4pt>[l]\ar@<-4pt>[l]\displaystyle\bigoplus_{i_1 < i_2< i_3} W_{i_1i_2i_3} \ar@<4pt>[r]\ar@<-4pt>[r] \ar@<12pt>[r]\ar@<-12pt>[r]& \cdots \ar[l]\ar@<8pt>[l]\ar@<-8pt>[l]
}[/tex]
dove le frecce che vanno verso destra sono indotte dalle proiezioni di uno spazio che risulta da una intersezione \(k\)-upla su un sottospazio che risulta da una intersezione \((k-1)\)-upla, e quelle che vanno verso sinistra sono indotte dall'inclusione di un sottospazio che risulta da una intersezione \((k-1)\)-upla in uno spazio che risulta da una intersezione \(k\)-upla.
Ora, dati due di questi diagrammi
[tex]\xymatrix{
\displaystyle\bigoplus_{i=1}^n W_i\ar@{.>}[d]^{\varphi_i} \ar@<4pt>[r]\ar@<-4pt>[r] & \ar[l] \displaystyle\bigoplus_{i_1 < i_2} W_{i_1i_2}\ar@{.>}[d]_{\varphi_{i_1i_2}} \ar[r]\ar@<8pt>[r]\ar@<-8pt>[r]& \ar@<4pt>[l]\ar@<-4pt>[l]\displaystyle\bigoplus_{i_1 < i_2< i_3} \ar@{.>}[d]_{\varphi_{i_1i_2i_3}}W_{i_1i_2i_3} \ar@<4pt>[r]\ar@<-4pt>[r] \ar@<12pt>[r]\ar@<-12pt>[r]& \cdots \ar[l]\ar@<8pt>[l]\ar@<-8pt>[l] \\
\displaystyle\bigoplus W^\prime_i \ar@<4pt>[r]\ar@<-4pt>[r] & \ar[l] \displaystyle\bigoplus_{i_1 < i_2} W^\prime_{i_1i_2} \ar[r]\ar@<8pt>[r]\ar@<-8pt>[r]& \ar@<4pt>[l]\ar@<-4pt>[l]\displaystyle\bigoplus_{i_1 < i_2< i_3} W^\prime_{i_1i_2i_3} \ar@<4pt>[r]\ar@<-4pt>[r] \ar@<12pt>[r]\ar@<-12pt>[r]& \cdots \ar[l]\ar@<8pt>[l]\ar@<-8pt>[l]
}[/tex]
\displaystyle\bigoplus_{i=1}^n W_i\ar@{.>}[d]^{\varphi_i} \ar@<4pt>[r]\ar@<-4pt>[r] & \ar[l] \displaystyle\bigoplus_{i_1 < i_2} W_{i_1i_2}\ar@{.>}[d]_{\varphi_{i_1i_2}} \ar[r]\ar@<8pt>[r]\ar@<-8pt>[r]& \ar@<4pt>[l]\ar@<-4pt>[l]\displaystyle\bigoplus_{i_1 < i_2< i_3} \ar@{.>}[d]_{\varphi_{i_1i_2i_3}}W_{i_1i_2i_3} \ar@<4pt>[r]\ar@<-4pt>[r] \ar@<12pt>[r]\ar@<-12pt>[r]& \cdots \ar[l]\ar@<8pt>[l]\ar@<-8pt>[l] \\
\displaystyle\bigoplus W^\prime_i \ar@<4pt>[r]\ar@<-4pt>[r] & \ar[l] \displaystyle\bigoplus_{i_1 < i_2} W^\prime_{i_1i_2} \ar[r]\ar@<8pt>[r]\ar@<-8pt>[r]& \ar@<4pt>[l]\ar@<-4pt>[l]\displaystyle\bigoplus_{i_1 < i_2< i_3} W^\prime_{i_1i_2i_3} \ar@<4pt>[r]\ar@<-4pt>[r] \ar@<12pt>[r]\ar@<-12pt>[r]& \cdots \ar[l]\ar@<8pt>[l]\ar@<-8pt>[l]
}[/tex]
le tuple \((W_i)\) e \((W_i')\) che essi rappresentano sono "disposte allo stesso modo" se e solo se sono naturalmente isomorfi mediante \(\{\varphi_{i_1,\dots,i_k} : W_{i_1,\dots, i_k} \to W'_{i_1,\dots,i_k}\}\).
Grazie per la risposta. (Però non ci ho capito molto).
Nel primo messaggio scrivi che un iso \( \varphi_i\colon W_i\to W_i^\prime \) induce l'iso \( \varphi|_{ij}\colon W_i\cap W_j\to W_i^\prime\cap W_j^\prime \). Credo che tu stia qui assumendo l'esistenza di un automorfismo \( \varphi \) di \( V \), tale che \( \varphi_*(W_i) = W_i^\prime \) (altrimenti è una cosa generalmente falsa), e scrivendo "\( \varphi_i \)" e "\( \varphi|_{ij} \)" al posto delle restrizioni \( \varphi{\restriction_{W_i}} \) e \( \varphi{\restriction_{W_i\cap W_j}} \). Perché poi dici che è da ciò che una condizione sufficiente (affinché un iso del genere ci sia) può venire fuori?
Ti posso chiedere cos'è il dato di un diagramma? Perché hai scritto la somma dei \( W_i \) come diretta (quando non lo è, in genere [a meno che tu non mi abbia detto una cosa tipo "\( 2 \) tuple di spazi hanno lo stesso arrangement se e solo se la somma di ciascuna è diretta"; e allora mi sono perso un pezzo]).
Nel primo messaggio scrivi che un iso \( \varphi_i\colon W_i\to W_i^\prime \) induce l'iso \( \varphi|_{ij}\colon W_i\cap W_j\to W_i^\prime\cap W_j^\prime \). Credo che tu stia qui assumendo l'esistenza di un automorfismo \( \varphi \) di \( V \), tale che \( \varphi_*(W_i) = W_i^\prime \) (altrimenti è una cosa generalmente falsa), e scrivendo "\( \varphi_i \)" e "\( \varphi|_{ij} \)" al posto delle restrizioni \( \varphi{\restriction_{W_i}} \) e \( \varphi{\restriction_{W_i\cap W_j}} \). Perché poi dici che è da ciò che una condizione sufficiente (affinché un iso del genere ci sia) può venire fuori?
Ti posso chiedere cos'è il dato di un diagramma? Perché hai scritto la somma dei \( W_i \) come diretta (quando non lo è, in genere [a meno che tu non mi abbia detto una cosa tipo "\( 2 \) tuple di spazi hanno lo stesso arrangement se e solo se la somma di ciascuna è diretta"; e allora mi sono perso un pezzo]).
"marco2132k":
Grazie per la risposta. (Però non ci ho capito molto).
Nel primo messaggio scrivi che un iso \( \varphi_i\colon W_i\to W_i^\prime \) induce l'iso \( \varphi|_{ij}\colon W_i\cap W_j\to W_i^\prime\cap W_j^\prime \). Credo che tu stia qui assumendo l'esistenza di un automorfismo \( \varphi \) di \( V \), tale che \( \varphi_*(W_i) = W_i^\prime \) (altrimenti è una cosa generalmente falsa), e scrivendo "\( \varphi_i \)" e "\( \varphi|_{ij} \)" al posto delle restrizioni \( \varphi{\restriction_{W_i}} \) e \( \varphi{\restriction_{W_i\cap W_j}} \). Perché poi dici che è da ciò che una condizione sufficiente (affinché un iso del genere ci sia) può venire fuori?
Ti posso chiedere cos'è il dato di un diagramma? Perché hai scritto la somma dei \( W_i \) come diretta (quando non lo è, in genere [a meno che tu non mi abbia detto una cosa tipo "\( 2 \) tuple di spazi hanno lo stesso arrangement se e solo se la somma di ciascuna è diretta"; e allora mi sono perso un pezzo]).
Sto assumendo che esista un isomorfismo \(\varphi_i : W_i \to W_i'\), e che valga la condizione che ho detto nel primo commento; quella condizione è equivalente al fatto che esista un isomorfismo di diagrammi come nel secondo commento.
La somma è diretta perché sto considerando il prodotto di spazi: \(\bigoplus_{i_1\dots i_k}W_{i_,\dots,i_k}\cong \prod_{i_1,\dots,i_k}W_{i_1,\dots,i_k}\subseteq \prod_{i_1,\dots,i_k}V\). Potevo scrivere prodotto, ho scritto somma, non importa
1) Provo a ragionare nel caso \( n = 3 \). Consideriamo tre sottospazi \( W_1,W_2,W_3 \), e i prodotti[nota]"Somme dirette esterne"?[/nota] \( W_1\times W_2\times W_3 \), \( (W_1\cap W_2)\times(W_1\cap W_3)\times(W_2\times W_3) \), dove il secondo è chiaramente sottospazio del primo.
Dovrebbero esserci due "proiezioni"
e un'inclusione
Come sono fatte?
2) Riguardo \( \phi|_{ij} \) davvero non riesco a dimostrare ciò che dici (ho provato ancora per \( n = 2 \) e \( n = 3 \)).
Dovrebbero esserci due "proiezioni"
[tex]\xymatrix{{W_1\times W_2\times W_3}\ar@<4pt>[r]\ar@<-4pt>[r] & {(W_1\cap W_2)\times(W_1\cap W_3)\times(W_2\times W_3)}}[/tex]
e un'inclusione
[tex]\xymatrix{{W_1\times W_2\times W_3} & \ar[l]{(W_1\cap W_2)\times(W_1\cap W_3)\times(W_2\times W_3)}}[/tex]
Come sono fatte?
2) Riguardo \( \phi|_{ij} \) davvero non riesco a dimostrare ciò che dici (ho provato ancora per \( n = 2 \) e \( n = 3 \)).
"marco2132k":C'è un isomorfismo \[\hom_K(\bigoplus_{i\in I}W_i, \bigoplus_{j\in J} V_j)\cong \bigoplus_{i\in I}\bigoplus_{j\in J} \hom_K(W_i,V_j)\] ogni volta che \(J\) è un insieme finito (qui sono finiti sia \(I\) che \(J\); quindi per dare un omomorfismo \(K\)-lineare \(\varphi : \bigoplus_{i\in I}W_i \to \bigoplus_{j\in J} V_j\) ti basta dare una matrice di morfismi \(\varphi_{ij} : W_i \to V_j\). Come ti ho detto, ci sono delle inclusioni di una intersezione fatta su \(k\) spazi dentro una intersezione fatta su \(k-1\) spazi (salta il primo: embedda; salta il secondo: embedda... e così via). C'è poi una proiezione da \(W_i\) a \(W_{i_1i_2}\), che ha per nucleo un sommando diretto \(K\) tale che \(W_i \cong W_{i_1i_2}\oplus K\): prendi una base di \(W_{i_1i_2}\), completala a una base di \(W_i\) tale che sia in somma diretta con la prima (puoi sempre farlo). Allora la proiezione di cui parlo ha matrice \(\left(\begin{smallmatrix} \text{id}_{W_{i_1i_2}} & 0 \\ 0 & 0 \end{smallmatrix}\right)\).
Dovrebbero esserci due "proiezioni"
[tex]\xymatrix{{W_1\times W_2\times W_3}\ar@<4pt>[r]\ar@<-4pt>[r] & {(W_1\cap W_2)\times(W_1\cap W_3)\times(W_2\times W_3)}}[/tex]
e un'inclusione
[tex]\xymatrix{{W_1\times W_2\times W_3} & \ar[l]{(W_1\cap W_2)\times(W_1\cap W_3)\times(W_2\times W_3)}}[/tex]
Come sono fatte?
Nel mio primo commento ti ho mostrato che la condizione di cui parlo è necessaria e sufficiente, se non ci sono errori. Cosa non ti riesce? Dimostrare che è equivalente all'altra condizione, di avere un'isomorfismo naturale tra due funtori?
2) Riguardo \( \phi|_{ij} \) davvero non riesco a dimostrare ciò che dici (ho provato ancora per \( n = 2 \) e \( n = 3 \)).
[ot]
Notare la netta asimmetria tra gli unici due che stanno discutendo e lo stralcio citato qua sopra è solo uno dei tanti esempi in un topic solo.
@solàal,
Non sei proprio in grado di percepire le difficoltà delle persone alle quali rispondi? Se è così, è un problema bello grosso. Conta il rischio di mettere più confusione [nota]...e senso di inadeguatezza, il che non è una stupidata affatto...[/nota] in chi dall'altra parte cerca di comprendere ciò che vuoi dire. Uno sforzo che potresti fare è questo: calibrare il linguaggio in funzione della richiesta. O meglio, potresti spendere più parole nelle risposte che dai per far capire ciò che fai (il che fatto bene, richiede del tempo, ma da soddisfazioni).
Altrimenti il rischio che corri è anche quello della presunzione o dell'arroganza, anche se penso tu lo faccia in buona fede...[nota]Che poi dicono che certuni si sentono perseguitati...
[/nota] Tieni conto che non è poco, se il tuo scopo è comunicare ed insegnare qualcosa. Se poi ti interessa far sembrare supidi ed inferiori gli altri con la loro ignoranza, è un altro discorso. E fidati che anche se non vuoi, un muro così può dare questa impressione di te.[/ot]
"solaàl":
[...] Cosa non ti riesce? Dimostrare che è equivalente all'altra condizione, di avere un'isomorfismo naturale tra due funtori?
Notare la netta asimmetria tra gli unici due che stanno discutendo e lo stralcio citato qua sopra è solo uno dei tanti esempi in un topic solo.
@solàal,
Non sei proprio in grado di percepire le difficoltà delle persone alle quali rispondi? Se è così, è un problema bello grosso. Conta il rischio di mettere più confusione [nota]...e senso di inadeguatezza, il che non è una stupidata affatto...[/nota] in chi dall'altra parte cerca di comprendere ciò che vuoi dire. Uno sforzo che potresti fare è questo: calibrare il linguaggio in funzione della richiesta. O meglio, potresti spendere più parole nelle risposte che dai per far capire ciò che fai (il che fatto bene, richiede del tempo, ma da soddisfazioni).
Altrimenti il rischio che corri è anche quello della presunzione o dell'arroganza, anche se penso tu lo faccia in buona fede...[nota]Che poi dicono che certuni si sentono perseguitati...
[/nota] Tieni conto che non è poco, se il tuo scopo è comunicare ed insegnare qualcosa. Se poi ti interessa far sembrare supidi ed inferiori gli altri con la loro ignoranza, è un altro discorso. E fidati che anche se non vuoi, un muro così può dare questa impressione di te.[/ot]
[ot]No dai regaz non scannatevi (non qui 
). (Non è un esercizio d'esame).[/ot]
). (Non è un esercizio d'esame).[/ot]
Questa è la mappa più facile da determinare: riordino i termini per avere che il primo fattore va nel primo fattore, il secondo nel secondo, etc. (tra l'altro ti ho indicato un errore in rosso: quel \(\times\) è ovviamente un \(\cap\).[tex]\xymatrix{{W_1\times W_2\times W_3} & \ar[l]{(W_1\cap W_2)\times(W_1\cap W_3)\times(W_2{\color{red}{\times}} W_3)}}[/tex]
Voglio trovare una mappa
[tex]\xymatrix{{W_1\times W_2\times W_3} & \ar[l]{(W_1\cap W_2)\times(W_2\cap W_3)\times(W_1\cap W_3)}}[/tex]
Questo però è facile: c'è un'inclusione \(i_{12,1} : W_{12}\hookrightarrow W_1\); c'è un'inclusione \(i_{23,2} : W_{23}\hookrightarrow W_2\); c'è un'inclusione \(i_{13,3} : W_{13}\hookrightarrow W_3\).
Queste tre mappe ne inducono una sola: è fatta dalla matrice a blocchi
\[
\begin{pmatrix}
i_{12,1} &0&0 \\
0&i_{23,2}&0 \\
0&0& i_{13,3}
\end{pmatrix}
\] e ha per dominio \((W_1\cap W_2)\oplus(W_2\cap W_3)\oplus(W_1\cap W_3)\) e per codominio \(W_1\oplus W_2\oplus W_3\) (le altre sono matrici di zeri delle dimensioni opportune, ovviamente).
Una procedura analoga si fa con le intersezioni tra \(k\) sottospazi e \(k-1\) sottospazi. Devi solo stare attento a come ordini le \(k\)-uple in modo da metterti in una condizione per avere una matrice a blocchi.
Con le proiezioni è più incasinato trovare una notazione intelligente, perché la loro costruzione coinvolge (ma è indipendente dal)la scelta di un sommando diretto di \(W_{i_1i_2}\) in \(W_i\). Del resto è comunque facile determinare le proiezioni che ti interessano. Dobbiamo determinare delle mappe lineari
[tex]\xymatrix{{W_1\times W_2\times W_3}\ar@<4pt>[r]^-u\ar@<-4pt>[r]_-v & {(W_1\cap W_2)\times(W_1\cap W_3)\times(W_2\cap W_3)}}[/tex]
E lo facciamo dicendo che \(u\) è fatta dalla matrice a blocchi
\[
\begin{pmatrix}
r_{1,12} && \\
&r_{2,23}& \\
&&r_{3,13}
\end{pmatrix}
\] dove \(r_{1,12}\) proietta \(W_1\) su \(W_{12}\), \(r_{2,23} : W_2, W_{23}\), eccetera. Di contro, \(v\) è fatta dalla matrice a blocchi
\[
\begin{pmatrix}
s_{1,13} && \\
&s_{2,12}& \\
&&s_{3,23}
\end{pmatrix}
\] dove \(s_{1,13}\) proietta \(W_1\) su \(W_{13}\), \(s_{2,12} : W_2, W_{12}\) proietta, eccetera. (Come vedi sto riarrangiando i fattori della somma diretta in modo conveniente: del resto la somma diretta è commutativa, no?). Di nuovo, per intersezioni a più termini bisogna solo fissare una notazione conveniente e capire qual è una regola induttiva intelligente per generare quelle matrici. Se è difficile, sto qua.
Se, comunque, resta troppo difficile, dimentica la seconda risposta e concentrati sulla prima; la seconda non l'ho scritta per te, era una caratterizzazione che volevo trovare per conto mio, e che ho scritto per ricordarmela, e per gli altri (che potrebbero pensare che questo esercizio è scolastico e artificiale, e non è interessante; invece, spiega abbastanza bene cosa significa dimenticarsi che una condizione è funtoriale: le definizioni corrette tendono a esserlo. Questo credo risponda al commento in spoiler. Quello che intendo è che
Questo non basta nel caso di due coppie di sottospazinon basta chiedere che ci siano delle mappe tra i vari componenti delle tuple di sottospazi; queste mappe devono essere tali da indurre isomorfismi tra tutte le intersezioni possibili, in modo tale che
coincidono anche le dimensioni delle intersezioni \( W_1\cap W_2 \) e \( W_1^\prime\cap W_2^\prime \).Il modo di dire questa cosa "bene" è chiedere che le tuple \(\{U_i\}\) e \(\{W_i\}\) siano isomorfe in un senso opportuno; ma in quale senso, e "dove" di preciso? Ossia, come devo manipolare le tuple in modo da ottenere degli oggetti che sono isomorfi se e solo se le tuple di sottospazi sono "dispote allo stesso modo"? A queste domande risponde il mio secondo commento; quello che ho fatto è stato variare sul tema del nervo di un ricoprimento, solo riportato a una classe di oggetti che sono spazi lineari.)
Se manca qualcosa a questa spiegazione, non so cosa.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo