Area trinagolo con 3 vertici
L'esercizio mi chiede di trovare l'area del triangolo dai tre vertici e sia Q un quarto punto di calcolare la distanza dal piano che contiene i 3 punti precedenti:
$ P_1=(1,0,1)$
$P_2=(0,2,1)$
$P_3=(1,2,0) $
$Q=(2,1,2)$
Allora io ho fatto così ma non ne sono sicura, anzi credo proprio si sbagliato:
$ S= 1/2 \cdot |det( ( 1 , 0 , 1 ),( 0 , 2 , 1 ),( 1 , 2 , 0 ) ) |=1/2 \cdot |-4|=2 $
Per quanto riguarda la seconda parte, trovo il piano che contiene i 3 punti:
$ det( ( x-1 , y-0 , z-1 ),( 0-1 , 2-0 , 1-1 ),( 1-1 , 2-0 , 0-1 ) )=0 $
$ pi : (-2x-y-2z+2=0) $
$ distanza= (|ax_Q+by_Q+cz_Q+d|)/ sqrt(a^2+b^2 + c^2)=|(-4-1-4+2)| /(sqrt(9))=7/3 $
dove a b c e d sono i paramentri del piano.
$ P_1=(1,0,1)$
$P_2=(0,2,1)$
$P_3=(1,2,0) $
$Q=(2,1,2)$
Allora io ho fatto così ma non ne sono sicura, anzi credo proprio si sbagliato:
$ S= 1/2 \cdot |det( ( 1 , 0 , 1 ),( 0 , 2 , 1 ),( 1 , 2 , 0 ) ) |=1/2 \cdot |-4|=2 $
Per quanto riguarda la seconda parte, trovo il piano che contiene i 3 punti:
$ det( ( x-1 , y-0 , z-1 ),( 0-1 , 2-0 , 1-1 ),( 1-1 , 2-0 , 0-1 ) )=0 $
$ pi : (-2x-y-2z+2=0) $
$ distanza= (|ax_Q+by_Q+cz_Q+d|)/ sqrt(a^2+b^2 + c^2)=|(-4-1-4+2)| /(sqrt(9))=7/3 $
dove a b c e d sono i paramentri del piano.
Risposte
Mmmh a me vengono altri risultati
Allora l'area del triangolo mi viene:
$A=1/2||P_1P_2\wedgeP_1P_3||=1/2||det((i,j,k),( 0-1 , 2-0 , 1-1 ),( 1-1 , 2-0 , 0-1 ) ) ||=1/2||((-2,1,-2))||=1/2sqrt((-2)^2+1^2+(-2)^2)=1/2\cdot3=3/2$
A me il piano viene $\pi: 2x+y+2z=4$ però può essere che ho sbagliato io
$d(Q,\pi)=(|2(2)+1+2(2)-4|)/sqrt(2^2+1^2+2^2)=5/3$
Allora l'area del triangolo mi viene:
$A=1/2||P_1P_2\wedgeP_1P_3||=1/2||det((i,j,k),( 0-1 , 2-0 , 1-1 ),( 1-1 , 2-0 , 0-1 ) ) ||=1/2||((-2,1,-2))||=1/2sqrt((-2)^2+1^2+(-2)^2)=1/2\cdot3=3/2$
A me il piano viene $\pi: 2x+y+2z=4$ però può essere che ho sbagliato io
$d(Q,\pi)=(|2(2)+1+2(2)-4|)/sqrt(2^2+1^2+2^2)=5/3$
allora...
dati 3 punti $A,B,C$ l'area di un triangolo in 3 dimensione è data da: $ 1/2 || vec(AB) xx vec(AC)|| $ , dove $xx$ denota il prodotto vettoriale. formalmente il prodotto vettoriale può essere calcolato tramite il determinante, in particolare si ha:
nel tuo esercizio abbiamo:
$P_1=(1,0,1)$
$P_2=(0,2,1)$
$P_3=(1,2,0)$
calcoliamo anzitutto i vettori che ci servono:
$ vec(P_1 P_2) = (-1,2,0) $ e $ vec(P_1 P_3) = (0,2,-1) $
ora ci serve il loro prodotto vettoriale:
$ vec(P_1 P_2) xx vec(P_1 P_3) = (-2,-1,-2) $
la norma di questo vettore è: $sqrt(4+1+4) = 3$
fine: l'area del triangolo 3D vale $1/2*3=3/2$
mi spiace ma per la seconda parte non ti posso essere di aiuto!
dati 3 punti $A,B,C$ l'area di un triangolo in 3 dimensione è data da: $ 1/2 || vec(AB) xx vec(AC)|| $ , dove $xx$ denota il prodotto vettoriale. formalmente il prodotto vettoriale può essere calcolato tramite il determinante, in particolare si ha:
$ | ( i , j , k ),( v_(1,x) , v_(1y) , v_(1,z) ),( v_(2,x) , v_(2,y) , v_(2,z) ) | $
nel tuo esercizio abbiamo:
$P_1=(1,0,1)$
$P_2=(0,2,1)$
$P_3=(1,2,0)$
calcoliamo anzitutto i vettori che ci servono:
$ vec(P_1 P_2) = (-1,2,0) $ e $ vec(P_1 P_3) = (0,2,-1) $
ora ci serve il loro prodotto vettoriale:
$ vec(P_1 P_2) xx vec(P_1 P_3) = (-2,-1,-2) $
la norma di questo vettore è: $sqrt(4+1+4) = 3$
fine: l'area del triangolo 3D vale $1/2*3=3/2$
mi spiace ma per la seconda parte non ti posso essere di aiuto!
Oddio si scusa avevo sbagliato il calcolo del prodotto vettoriale ahahah, ho corretto
Ok capito, è comunque più semplice che trovare altezza e distanza. Grazie ancora. Ricontrollo il calcolcolo ler il piano anche.
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