Area di D
devo calcolare l'area del dominio D la cui frontiera è la curva di equazioni parametriche:
$x=1-cost$
$y=t^2(pi-t)$
dove $t in [0,pi]$
ora io so che la formula per trovare l'area di un dominio è:
$m(D)=intint_Ddxdy$
in questo caso come devo fare per applicare questa formula??? devo trovare una rappresentazione cartesiana?
o posso sfruttare la parametrica che già mi è data dall'esercizio?
$x=1-cost$
$y=t^2(pi-t)$
dove $t in [0,pi]$
ora io so che la formula per trovare l'area di un dominio è:
$m(D)=intint_Ddxdy$
in questo caso come devo fare per applicare questa formula??? devo trovare una rappresentazione cartesiana?
o posso sfruttare la parametrica che già mi è data dall'esercizio?
Risposte
secondo me potresti operare nel seguente modo:
Ad esempio esprimi $t$ come $f(x)$ ananlizzando la prima equazione. Ora sostituisci il risultato nella seconda trovando $y = f(x)$. Ora $x$ varia nell'intervallo trovato facendo variare $t$ nell'intervallo dato. Con tale procedimento hai tutti gli elementi per applicare l'integrale doppio....A me questo sembra un ragionamento plausibile, ma potrei anche aver sbaagliato...ahah...
Ad esempio esprimi $t$ come $f(x)$ ananlizzando la prima equazione. Ora sostituisci il risultato nella seconda trovando $y = f(x)$. Ora $x$ varia nell'intervallo trovato facendo variare $t$ nell'intervallo dato. Con tale procedimento hai tutti gli elementi per applicare l'integrale doppio....A me questo sembra un ragionamento plausibile, ma potrei anche aver sbaagliato...ahah...
dovresti usare il teorema di Stokes in una delle sue tante forme ritengo (per passare dal dominio pieno alla frontiera), dopodiché puoi anche (anzi, è meglio) usare la rappresentazione parametrica
non posso usare Gauss-Green???
facendo $intint_Df_x=int_(+deltaD)fdy$
in questo caso considero $int_(deltaD)xdy$ dato che la derivata di x fa 1 come nella formula per l'area.
Credo che per la formula di Stokes sia la stessa cosa perchè devo considerare una componente nulla... per far si che il rotore sia uguale ad 1.
Ditemi se sbaglio!!!
facendo $intint_Df_x=int_(+deltaD)fdy$
in questo caso considero $int_(deltaD)xdy$ dato che la derivata di x fa 1 come nella formula per l'area.
Credo che per la formula di Stokes sia la stessa cosa perchè devo considerare una componente nulla... per far si che il rotore sia uguale ad 1.
Ditemi se sbaglio!!!
guarda, probabilmente la forma migliore in questo caso è il teorema della divergenza:
$\int_D \text{div} f dx dy = \int_{\partial D} f * n d\sigma$
in questo caso $1 = 1/2 (\partial_1 x + \partial_2 y)$ e quindi $f = 1/2 x=1/2 (x,y)$
$\int_D \text{div} f dx dy = \int_{\partial D} f * n d\sigma$
in questo caso $1 = 1/2 (\partial_1 x + \partial_2 y)$ e quindi $f = 1/2 x=1/2 (x,y)$
bene grazie 1000
in pratica quindi mi devo calcolare :
$int_gammaxdx$
perfavore... non sono troppo pratico con quest formule... potete dirmi se faccio bene?
$int_gammaxdx$
perfavore... non sono troppo pratico con quest formule... potete dirmi se faccio bene?
nessuno?
nessuno? chiedo solo una conferma
Devi calcolare $int_(deltaD)xdy=int_0^pi(1-cost)(2pit-3t^2)dt$.
Se il risultato venisse negativo, devi cambiare di segno dato che un'area non può essere negativa.
In generale il risultato sarà negativo quando la curva $gamma$ orienta $deltaD$ negativamente, mentre sarà positivo se orienta $deltaD$ positivamente.
Se il risultato venisse negativo, devi cambiare di segno dato che un'area non può essere negativa.
In generale il risultato sarà negativo quando la curva $gamma$ orienta $deltaD$ negativamente, mentre sarà positivo se orienta $deltaD$ positivamente.
grazie
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