Area del triangolo nello spazio
Ho 3 punti
a(0,0,0) b(3,2,4) c(-3,-2,-4)
come trovo l'area? c'è la possibilità di calcolarla col determinante? se si come è possibile dato che c'è un punto 0,0,0 che lo annullerebbe?
grazie
a(0,0,0) b(3,2,4) c(-3,-2,-4)
come trovo l'area? c'è la possibilità di calcolarla col determinante? se si come è possibile dato che c'è un punto 0,0,0 che lo annullerebbe?
grazie
Risposte
Il determinante, in $\RR^3$, è un concetto legato al volume.
Un approccio brutale potrebbe essere il seguente: ti cacoli le distanze tra i 3 punti e poi usi la formula di Erone, $A=sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c))$, dove $p$ è il semiperimetro e $a,b,c$ sono le misure dei tre lati.
Un approccio brutale potrebbe essere il seguente: ti cacoli le distanze tra i 3 punti e poi usi la formula di Erone, $A=sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c))$, dove $p$ è il semiperimetro e $a,b,c$ sono le misure dei tre lati.
mi vengono tutte e tre le distanze sotto radice. è possibile? radice di 29,161,29 ?
A me viene due volte $sqrt(29)$ e $sqrt(116)$.
Fatto questo, devi sostituire nella formula a fare un (bel) po' di conti.
Fatto questo, devi sostituire nella formula a fare un (bel) po' di conti.
ti viene 116 perché hai fatto CB io, ho fatto BC e viene 161. il semiperimetro a te viene radice di 58?
Veramente ci sarebbe un modo per calcolare l'area del triangolo nello spazio tridimensionale senza fare troppi conti. Infatti se consideriamo il prodotto vettore di $vec(v), vec(w)$, sappiamo che la lunghezza di quest'ultimo è pari all'area del parallelogramma individuato da $vec(v), vec(w)$. Quindi l'area del triangolo di vertici $vec(0), vec(v), vec(w)$ è pari a $1/2||vec(v)timesvec(w)||$
P.S.: Controllare, perché potrebbe esserci qualche errore mio. Con $times$ indico il prodotto vettore (come si fa il simbolo cross?).
P.S.: Controllare, perché potrebbe esserci qualche errore mio. Con $times$ indico il prodotto vettore (come si fa il simbolo cross?).
C'è un errore nel calcolo dei lati:il lato maggiore è $sqrt(116)=2sqrt(29)$ e se fai il
calcolo con Erone trovi che l'area vale 0,come deve essere in questo caso perché i 3
punti sono allineati sulla retta $x/3=y/2=z/4$.
L'approccio con Erone è possibile ma assai faticoso se i numeri in gioco non sono tutti razionali e nemmeno si
può applicare,sic et simpliciter,la regola del determinante come si fa nel piano.Tuttavia esiste una specie di regola
di "surroga" che afferma questo:
Il quadrato dell'area di una figura piana è la somma dei quadrati delle aree delle sue proiezioni sui 3 piani coordinati.
In virtù di tale teorema l'area S di un triangolo, posizionato nello spazio e di vertici $A(x_1,y_1,z_1),B(x_2,y_2,z_2),C(x_3,y_3,z_3)$, è uguale a:
$S^2=1/4*(((x_1,y_1,1),(x_2,y_2,1),(x_3,y_3,1))^2+((y_1,z_1,1),(y_2,z_2,1),(y_3,z_3,1))^2+((z_1,x_1,1),(z_2,x_2,1),(z_3,x_3,1))^2)$
calcolo con Erone trovi che l'area vale 0,come deve essere in questo caso perché i 3
punti sono allineati sulla retta $x/3=y/2=z/4$.
L'approccio con Erone è possibile ma assai faticoso se i numeri in gioco non sono tutti razionali e nemmeno si
può applicare,sic et simpliciter,la regola del determinante come si fa nel piano.Tuttavia esiste una specie di regola
di "surroga" che afferma questo:
Il quadrato dell'area di una figura piana è la somma dei quadrati delle aree delle sue proiezioni sui 3 piani coordinati.
In virtù di tale teorema l'area S di un triangolo, posizionato nello spazio e di vertici $A(x_1,y_1,z_1),B(x_2,y_2,z_2),C(x_3,y_3,z_3)$, è uguale a:
$S^2=1/4*(((x_1,y_1,1),(x_2,y_2,1),(x_3,y_3,1))^2+((y_1,z_1,1),(y_2,z_2,1),(y_3,z_3,1))^2+((z_1,x_1,1),(z_2,x_2,1),(z_3,x_3,1))^2)$
Niente da ridire: esistono metodi molto più pratici del mio per risolvere la questione. 
"dissonance":
Veramente ci sarebbe un modo per calcolare l'area del triangolo nello spazio tridimensionale senza fare troppi conti. Infatti se consideriamo il prodotto vettore di $vec(v), vec(w)$, sappiamo che la lunghezza di quest'ultimo è pari all'area del parallelogramma individuato da $vec(v), vec(w)$. Quindi l'area del triangolo di vertici $vec(0), vec(v), vec(w)$ è pari a $1/2||vec(v)timesvec(w)||$
P.S.: Controllare, perché potrebbe esserci qualche errore mio. Con $times$ indico il prodotto vettore (come si fa il simbolo cross?).
il prodotto vettoriale mi viene -4i=0, è possibile ?
cmq grazie a tutti e tre della mano^^
il determinante non l'avevo visto da nessuna parte o_o
perché S al quadrato e non S ?
Nella formula c'è S^2 ma se si vuole S basta estrarre la radice quadrata....
Il procedimento di dissonance è la ( bella) formulazione vettoriale del metodo da me descritto.
Se $vec(a),vec(b),vec(c)$ sono i tre vettori che definiscono la posizione dei vertici del triangolo,
per avere l'area richiesta occorrerà calcolare il modulo del prodotto vettoriale $(vec(b)-vec(a)) times (vec(c)-vec(a))$ e dividere per due.
In questo modo si otterrà esattamente la formula da me indicata.
Il procedimento di dissonance è la ( bella) formulazione vettoriale del metodo da me descritto.
Se $vec(a),vec(b),vec(c)$ sono i tre vettori che definiscono la posizione dei vertici del triangolo,
per avere l'area richiesta occorrerà calcolare il modulo del prodotto vettoriale $(vec(b)-vec(a)) times (vec(c)-vec(a))$ e dividere per due.
In questo modo si otterrà esattamente la formula da me indicata.
ah si è vero per il quadrato l'ho capito:P
Si possono seguire più metodi risolutivi, ma il prodotto vettoriale mi sembra la
strada più breve.
strada più breve.
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