Approssimazione via compatti

[ficus2002]

Sia $U\subseteq RR^n$ aperto. E' vero che
$|U|=\text{sup}_K |K|$
dove il sup è preso al variare di $K$ tra i compatti contenuti in $U$.

[Kroldar]

$|U|$ cosa indica?
$R^n$ si intende euclideo?

[zorn1]

mi sembra sia la misura interna di Lebesgue se non erro.

[ficus2002]

"Kroldar":$|U|$ cosa indica?

Si, è la misura di Lebesgue.

"Kroldar":$R^n$ si intende euclideo?

Si.

[Chevtchenko]

"ficus2002":Sia $U\subseteq RR^n$ aperto. E' vero che
$|U|=\text{sup}_K |K|$
dove il sup è preso al variare di $K$ tra i compatti contenuti in $U$.

Non e' una delle proprieta' fondamentali della misura di Lebesgue?

[david_e1]

Questo è senz'altro vero se $U$ è limitato: in tal caso i compatti contenuti non sono altro che i chiusi. E l'approssimazione della misura per chiusi è una proprietà fondamentale della misura di Lebesgue. Nel caso $U$ illimitato ad istinto direi che rimane vero, ma non sò se sia una proprietà fondamentale.

[david_e1]

Aggiungo se $U$ è a misura finita, ma è illimitato, allora lavorando sull'intersezione fra $U$ e le palle centrate in zero si trova che per ogni $\epsilon > 0$ esiste un compatto $K \subset U$ tale per cui $\mu(U - K) < \epsilon$.

Nel caso di $U$ a misura infinita, lavorando sempre sulle sfere centrate in zero, si trova una successione di compatti $K_n \subset U$ tali per cui:

$ \lim_{ k \to \infty } \mu ( K_n ) = \infty $

quindi direi che la tesi vale anche qui.

[elgiovo]

Se $U$ è illimitato e a misura infinita mi sembra che si possa dire $mbox(sup)_K |K|=oo$,
quindi la tesi rimane vera.

EDIT: non avevo visto la replica di david_e.

[david_e1]

"elgiovo":EDIT: non avevo visto la replica di david_e.

Caspita io e te postiamo sempre in contemporanea!

[elgiovo]

"david_e":
Caspita io e te postiamo sempre in contemporanea!

Così almeno non puoi dire che io ti copi...!

[ficus2002]

"david_e":Aggiungo se $U$ è a misura finita, ma è illimitato, allora lavorando sull'intersezione fra $U$ e le palle centrate in zero si trova che per ogni $\epsilon > 0$ esiste un compatto $K \subset U$ tale per cui $\mu(U - K) < \epsilon$.

Intendi dire che se $\bar(B_n(0))$ è la bolla di raggio $n\in NN$ centrata in $0$, e $U_n:=U\cap \bar(B_n(0))$, allora
$\bigcup_{n\in NN} U_n=U$ e $U_n\subseteq U_{n+1}$
così $\mu(U_n)->\mu(U)$ per $n->oo$.
Però $U_n$ non è, in generale, un compatto.

[david_e1]

No ma, fissato $n$, per ogni $\epsilon>0$ esiste un insime $K_n \subset U_n$ compatto tale per cui:

$ \mu ( U_n - K_n) < \epsilon $

questo per l'approssimazione della misura con i chiusi, sfruttando il fatto che i chiusi limitati sono anche compatti.

Approposito questo risultato di approssimazione della misura per compatti contenuti vale anche in spazi di Banach riflessivi con la topologia debole: per via del teorema di Banach-Alaoglu. Nel caso di topologia forte non saprei proprio: i compatti sono cosi' pochi...

[ficus2002]

"david_e":questo per l'approssimazione della misura con i chiusi, sfruttando il fatto che i chiusi limitati sono anche compatti.

Ok, ora ho capito.

Cmq, stavo pensando ad un'altra strada: se $E\subseteq RR^n$ è $\sigma$-compatto (cioè riunione numerabile di compatti), allora vale
$\mu(E)=\text{sup}_{K\subseteq E}\mu(K)$
perchè se $E=K_1\cup K_2\cup \cdots$ con $K_i$ compatto, allora $E_n:=\bigcup_{i=1}^{n} K_i\subseteq E$ è compatto (riunione finita di compatti). Poichè $E_n\subseteq E_{n+1}$, e $E=\bigcup_{n=1}^{oo}E_n$ ho $\mu(E_n)\to \mu(E)$.

In $RR^n$, ogni bolla aperta $B_r$ è riunione numerabile di compatti
$B_r=\bigcup_{n=1}^{oo} \bar(B_{r-1/n})$
ed ogni aperto è riunione numerabile di bolle aperte. Così, ogni aperto è $sigma$-compatto e vale l'approssimazione via compatti.

[david_e1]

Si mi sembra giusto.