Applicazioni Regolari
L'argomento sono le Varietà differenziabili.
Curiosando tra gli appunti ho trovato 2 diverse definizioni di applicazione regolare.
La prima:
Sia $ f: U sub RR^n -> V sub RR^n $ un applicazione differenziabile; $ f $ si dice regolare se il determinate dello Jacobiano ad essa associato non è nullo.
La seconda:
Sia $ f:N->M $ un'applicazione differenziabile, dove M e N sono due varietà differenziabili di dimensione n e m rispettivamente (in realtà negli appunti N è una sotto varietà di M, ma credo che per la definizione non faccia differenza e si possa pensare a $f$ come a un' applicazione tra varietà distinte). Essa è regolare se il rango dello Jacobiano ad essa associato è massimo (ossia il minimo tra m e n).
Ora la seconda mi suona più familiare anche in relazione alle parametrizzazioni delle curve o delle superfici che so essere regolari quando il rango dello Jacobiano è massimo. Mi rendo conto che le definizioni sono date in contesti diversi, ossia la prima è un applicazione tra aperti di $RR^n$ la seconda tra oggetti più astratti dotati di una certa struttura, in ogni caso per la regolarità di tali funzioni mi aspetterei definizioni analoghe.
Vi ringrazio anticipatamente per l'attenzione.
Buona giornata a tutti.
Curiosando tra gli appunti ho trovato 2 diverse definizioni di applicazione regolare.
La prima:
Sia $ f: U sub RR^n -> V sub RR^n $ un applicazione differenziabile; $ f $ si dice regolare se il determinate dello Jacobiano ad essa associato non è nullo.
La seconda:
Sia $ f:N->M $ un'applicazione differenziabile, dove M e N sono due varietà differenziabili di dimensione n e m rispettivamente (in realtà negli appunti N è una sotto varietà di M, ma credo che per la definizione non faccia differenza e si possa pensare a $f$ come a un' applicazione tra varietà distinte). Essa è regolare se il rango dello Jacobiano ad essa associato è massimo (ossia il minimo tra m e n).
Ora la seconda mi suona più familiare anche in relazione alle parametrizzazioni delle curve o delle superfici che so essere regolari quando il rango dello Jacobiano è massimo. Mi rendo conto che le definizioni sono date in contesti diversi, ossia la prima è un applicazione tra aperti di $RR^n$ la seconda tra oggetti più astratti dotati di una certa struttura, in ogni caso per la regolarità di tali funzioni mi aspetterei definizioni analoghe.
Vi ringrazio anticipatamente per l'attenzione.
Buona giornata a tutti.
Risposte
non capisco: nella prima definizione, come fai a calcolare il determinante dello jacobiano associato se la matrice non e' quadrata?
scusa ho sbagliato a scrivere, nella prima la dimensione ovviamente è la stessa $ RR^n $ adesso correggo
Pardon credo di aver capito....
Se non sbaglio il determinante di una matrice è nullo solo quando ha almeno una riga o una colonna nulla in altre parole solo le righe o colonne non sono tutte linearmente indipendenti. Questo è equivalente a dire che il rango è massimo cioè pari al al numero di righe o colonne (che sono uguali poichè la matrice è quadrata)
Nell'altro caso essendo lo Jacobiano associato una matrice non quadrata si parla di rango.
In conclusione le due definizioni coincidono
Se non sbaglio il determinante di una matrice è nullo solo quando ha almeno una riga o una colonna nulla in altre parole solo le righe o colonne non sono tutte linearmente indipendenti. Questo è equivalente a dire che il rango è massimo cioè pari al al numero di righe o colonne (che sono uguali poichè la matrice è quadrata)
Nell'altro caso essendo lo Jacobiano associato una matrice non quadrata si parla di rango.
In conclusione le due definizioni coincidono
appunto.. le due definizioni sono equivalenti quando la dimensione e' la stessa.
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