Applicazioni proprie (topologia)
Non riesco a dimostrare l'equivalenza dei seguenti fatti
Se $f: X -> Y$ è continua
fatto 1
La controimmagine di un compatto è un compatto (ovvero la funzione è propria)
fatto 2
$f$ è una funzione chiusa e $f^(-1)(y)$ è compatto per ogni $y \in Y$ (ovvero le fibre sono compatte)
Allora, una mezza idea su come dimostrare almeno una implicazione ce l'ho, ma è davvero confusa e rischio solo di far confusione, la posto più in la magari.
La cosa che assolutamente non riesco a dimostrare è (1)=>(2), soprattuto dimostrare che $f$ è chiusa sapendo che la controimmagine di un compatto è compatto. Credo che manchi l'ipotesi che $X$ sia di Hausdorff (questa proposizione l'ho trovata sui miei appunti, quindi potrebbe esser incompleta).
Se $f: X -> Y$ è continua
fatto 1
La controimmagine di un compatto è un compatto (ovvero la funzione è propria)
fatto 2
$f$ è una funzione chiusa e $f^(-1)(y)$ è compatto per ogni $y \in Y$ (ovvero le fibre sono compatte)
Allora, una mezza idea su come dimostrare almeno una implicazione ce l'ho, ma è davvero confusa e rischio solo di far confusione, la posto più in la magari.
La cosa che assolutamente non riesco a dimostrare è (1)=>(2), soprattuto dimostrare che $f$ è chiusa sapendo che la controimmagine di un compatto è compatto. Credo che manchi l'ipotesi che $X$ sia di Hausdorff (questa proposizione l'ho trovata sui miei appunti, quindi potrebbe esser incompleta).
Risposte
"angus89":
La cosa che assolutamente non riesco a dimostrare è (1)=>(2), soprattuto dimostrare che $f$ è chiusa sapendo che la controimmagine di un compatto è compatto.
Allora da quello che ne so io, se esiste $f^(-1)$, significa che $f$ è iniettiva, sommato al fatto che $AA y \in Y$ ho che $f^(-1)(y) \in X$, allora $f$ è biiettiva e quindi essendo $f$ continua e propria (per ipotesi) ed anche biiettiva, si ha che $X$ e $Y$ hanno la stessa dimensione, infatti $f$ è un'omeomorfismo tra $X$ ed $Y$, quindi se $Y$ è compatto lo è anche $X$ per preservazione della topologia...dimostrando che $f$ è un omeomorfismo tra $X$ ed $Y$, allora $f$ risulta essere anche continua, biiettiva, aperta e chiusa.
Questo è quello che so io, però non sono esperto in topologia.
@Alex: Purtroppo penso che non vada bene, perché quasi sicuramente angus intende con $f^{-1}$ le controimmagini di $f$ e non necessariamente l'applicazione inversa. Quindi la $f$ di angus non ha obbligo di essere ingettiva.
Esattamente come dice dissonance, $f^-1(U)$ è la controimmagine di $U$
$f^-1(U)={x \in X | f(x)\in U}$
per (2)=>(1), il link postato sembra vada bene, studierò la dimostrazione per bene più tardi...
(ovviamente grazie)
$f^-1(U)={x \in X | f(x)\in U}$
per (2)=>(1), il link postato sembra vada bene, studierò la dimostrazione per bene più tardi...
(ovviamente grazie)
"dissonance":
@Alex: Purtroppo penso che non vada bene, perché quasi sicuramente angus intende con $f^{-1}$ le controimmagini di $f$ e non necessariamente l'applicazione inversa.
ok, allora in quel caso no
"angus89":
per (2)=>(1), il link postato sembra vada bene, studierò la dimostrazione per bene più tardi...
(ovviamente grazie)
Di niente!
Ho pensato ancora alla feccenda, ma non riesco a venirne capo almeno che non si consideri uno spazio di Hausdorff, in quel caso penso sia più facile....
Per un noto teorema, un sottospazio $A$ di uno spazio di Hausdorff $Y$ è sempre chiuso, quindi se la controimmagine $f^(-1)(y)$ è un compatto ed in più aggiungiamo l'ipotesi che $Y$ è di Hausdorff, allora ogni sottoinsieme di $Y$ è anch'esso compatto...con ciò otteniamo che la controimmagine di un compatto è un compatto, quindi $f$ essendo chiusa manda compatti di $X$ in compatti di $Y$, ivi è funzione propria.
Non sono certo della correttezza, magari tu stesso potrai correggermi, altrimenti attendiamo un parere più esperto in topologia! ciao.
Per un noto teorema, un sottospazio $A$ di uno spazio di Hausdorff $Y$ è sempre chiuso, quindi se la controimmagine $f^(-1)(y)$ è un compatto ed in più aggiungiamo l'ipotesi che $Y$ è di Hausdorff, allora ogni sottoinsieme di $Y$ è anch'esso compatto...con ciò otteniamo che la controimmagine di un compatto è un compatto, quindi $f$ essendo chiusa manda compatti di $X$ in compatti di $Y$, ivi è funzione propria.
Non sono certo della correttezza, magari tu stesso potrai correggermi, altrimenti attendiamo un parere più esperto in topologia! ciao.
L'implicazione da (2) ad (1) è vera ma la dimostrazione che ho (dal libro di topologia di Tallini) non è per niente breve!
Il punto doloroso nell'implicazione da (1) a (2) è il dimostrare che [tex]$f$[/tex] sia chiusa.
@Alexp: ogni sottospazio compatto di uno spazio di Hausdorff è un suo insieme chiuso, intendevi affermare questo?
Il punto doloroso nell'implicazione da (1) a (2) è il dimostrare che [tex]$f$[/tex] sia chiusa.
@Alexp: ogni sottospazio compatto di uno spazio di Hausdorff è un suo insieme chiuso, intendevi affermare questo?
"j18eos":
@Alexp: ogni sottospazio compatto di uno spazio di Hausdorff è un suo insieme chiuso, intendevi affermare questo?
Si, intendo quello.
La mia idea è: se nelle ipotesi abbiamo che $Y$ è di Hausdorff, essendo per il noto teorema che ogni sottospazio compatto di uno spazio di Hausdorff è chiuso, allora essendo $f$ un'applicazione chiusa, cioè che manda chiusi in chiusi, il chiuso di $Y$ è anche un compatto (perchè $Y$ abbiamo detto che è di Hausdorff), aggiungendo che la controimmagine $f^(-1)(y)$ è anch'essa un compatto, otteniamo che allora $f$ manda compatti in compatti, quindi è propria.
Però non sono sicuro (come ho già detto), perchè non so se vale l'implicazione inversa del teorema, ossia che ogni sottospazio chiuso di uno spazio di Hausdorff è un sottospazio compatto.
Quindi cercavo il parere di qualche topologo esperto!
"Topologo esperto" non sono affatto, ma sono sicuro che
"Alexp":è falso. Esempio: $[0, +infty)$ è chiuso nello spazio di Hausdorff $RR$ ma non è compatto.
ogni sottospazio chiuso di uno spazio di Hausdorff è un sottospazio compatto
Si infatti avevo pensato alla stessa cosa...
Servirebbe che $Y$ sia di Hausdorff e sia anche limitato a quel punto essendo $f$ un'applicazione chiusa, dovrebbe venire.
Servirebbe che $Y$ sia di Hausdorff e sia anche limitato a quel punto essendo $f$ un'applicazione chiusa, dovrebbe venire.
Non lo so Alex... Che significa dire "limitato" in uno spazio di Hausdorff generico? Devi dire: $Y$ sottoinsieme limitato di $RR^n$, o di una sottovarietà di $RR^n$, o di qualche altro spazio topologico con la proprietà di Heine-Borel ("chiuso e limitato"="compatto": ce ne sono di svariati tipi, delle particolari varietà, o anche spazi di funzioni come $C^infty[a,b]$).
Si, per esempio considerare $Y$ come un sottospazio limitato di uno spazio di Hausdorff.
Alex, scusa se insisto ma purtroppo trovo che sia sbagliato. Non ha senso dire "sottospazio limitato di uno spazio di Hausdorff", perché uno spazio di Hausdorff, in generale, non è uno spazio metrico. Quanto dici è vero se consideri $Y$ come un sottoinsieme limitato di $RR^n$.
Si, chiedo venia..in realtà sottointendevo che lo spazio di Hausdorff abbia definita una metrica, però visto che in generale non è così, haì ragione tu, è meglio specificarlo.
Eh ma non solo deve esserci una metrica. Deve anche succedere che i chiusi e limitati sono compatti, cosa in genere falsa: prendi lo spazio
[tex]$\ell^2=\{\bold{x}=(x_0, x_1, x_2,\ldots)\mid x_n\in\mathbb{R},\ \sum_{n=0}^\infty\lvert x_n \rvert^2 < \infty \}[/tex]
equipaggiato con la metrica
[tex]$d_2(\bold{x}, \bold{y})=\sqrt{\sum_{n=0}^\infty (y_n-x_n)^2}[/tex]
allora detta, per ogni [tex]j\in\mathbb{N}[/tex],
[tex]$\bold{e}_j=(\underbrace{0, 0 \ldots 0}_{\text{j posti}}, 1, 0 \ldots )[/tex]
risulta che l'insieme [tex]E=\{\bold{e}_j \mid j\in \mathbb{N} \}[/tex] è chiuso e limitato ma NON compatto.
Quindi non è sufficiente una struttura metrica: ti serve una struttura euclidea.
[tex]$\ell^2=\{\bold{x}=(x_0, x_1, x_2,\ldots)\mid x_n\in\mathbb{R},\ \sum_{n=0}^\infty\lvert x_n \rvert^2 < \infty \}[/tex]
equipaggiato con la metrica
[tex]$d_2(\bold{x}, \bold{y})=\sqrt{\sum_{n=0}^\infty (y_n-x_n)^2}[/tex]
allora detta, per ogni [tex]j\in\mathbb{N}[/tex],
[tex]$\bold{e}_j=(\underbrace{0, 0 \ldots 0}_{\text{j posti}}, 1, 0 \ldots )[/tex]
risulta che l'insieme [tex]E=\{\bold{e}_j \mid j\in \mathbb{N} \}[/tex] è chiuso e limitato ma NON compatto.
Quindi non è sufficiente una struttura metrica: ti serve una struttura euclidea.
Dato che poco fa ho letto altrove un richiamo a questa discussione, mi sembra che \((1)\Rightarrow(2)\) sia falsa!
E.g.: Su \([-1;1]\) si consideri la topologia dei dischi volanti \(\mathcal{T}_1\) seguente: \[\mathcal{T}_1=\{[-1;1];]-r;r[:r\in[0;1]\},\] sul \(2\)-disco chiuso \(D\) (o semplicemente cerchio con bordo) di centro \((0;0)\) e raggio \(1\) si consideri seguente altra topologia dei dischi volanti \(\mathcal{T}_2\): \[\mathcal{T}_2=\{D;B(\underline0;r)=\{(x;y)\in\mathbb{R}^2:x^2+y^2[*:1use6qme] \(i\) è un'applicazione continua; [/*:m:1use6qme][*:1use6qme] è propria (nel senso di angus89 [che saluto 
]); [/*:m:1use6qme][*:1use6qme]le sue fibre sono compatte; [/*:m:1use6qme][*:1use6qme] non è chiusa in quanto, ad esempio, l'immagine di \([-1;1]\) non è un chiuso in \((D;\mathcal{T}_2)\).[/*:m:1use6qme][/list:u:1use6qme] Vi torna tutto? 
(Ho scritto di fretta!)
E.g.: Su \([-1;1]\) si consideri la topologia dei dischi volanti \(\mathcal{T}_1\) seguente: \[\mathcal{T}_1=\{[-1;1];]-r;r[:r\in[0;1]\},\] sul \(2\)-disco chiuso \(D\) (o semplicemente cerchio con bordo) di centro \((0;0)\) e raggio \(1\) si consideri seguente altra topologia dei dischi volanti \(\mathcal{T}_2\): \[\mathcal{T}_2=\{D;B(\underline0;r)=\{(x;y)\in\mathbb{R}^2:x^2+y^2
]); [/*:m:1use6qme][*:1use6qme]le sue fibre sono compatte; [/*:m:1use6qme][*:1use6qme] non è chiusa in quanto, ad esempio, l'immagine di \([-1;1]\) non è un chiuso in \((D;\mathcal{T}_2)\).[/*:m:1use6qme][/list:u:1use6qme] Vi torna tutto? (Ho scritto di fretta!)
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