Applicazioni omotope

lukath
Salve a tutti!

Avrei un dubbio su un esercizio che riguarda l'omotopia tra applicazioni continue. E' data una funzione continua $f:S^1 \to S^1$ con $S^1 = {z in CC | |z|=1}$ e definita come $f(z) = z^2$. Mi si chiede di mostrare che non è omotopa alla funzione identica. All'inizio pensavo di dimostrare che non possono esistere omotopie tra le due applicazioni ma non saprei da dove iniziare. C'è un altro modo per dimostrarlo o bisogna per forza verificare la non esistenza di omotopie tra le due applicazioni? Grazie a tutti :)

Risposte
Pappappero1
Se sai cosa e' il gruppo fondamentale di $S^1$ e come le funzioni continue inducono morfismi tra i gruppi fondamentali, puoi usare questo fatto e osservare che il morfismo indotto sui $\pi_1$ dalla tua $f$ non e' l'identita'. Questa e' la dimostrazione piu' semplice che ho in mente (e in realta' l'unica).

Tuttavia potrebbe esserci un modo facile per dimostrare questo fatto a mano.

lukath
So che il gruppo fondamentale di $S^1$ è isomorfo a $ZZ$ e so che ogni funzione continua induce un omomorfismo tra gruppi fondamentali, ma non so come siano definire questi morfismi: in questo caso, considerando l'applicazione data, l'unico generatore del gruppo fondamentale di $S^1$ in cosa viene mappato tramite l'omomorfismo indotto?

lukath
Ci ho ripensato un attimo e ho tratto una conclusione, non so quanto giusta. Io so che $f$ induce un omomorfismo tra il gruppo fondamentale di $S^1$ e se stesso, e che, se $f$ fosse omotopa all'identità, il generatore $alpha$ del gruppo verrebbe mandato in se stesso tramite l'omomorfismo indotto. Ma se prendo come punto base del gruppo $z=1$, allora $alpha: [0,1] \to S^1$ è un cammino tale che $alpha(0)=1=alpha(1)$, mentre $f(alpha)$ può essere solo omotopo al cammino costante (almeno credo). Può essere giusto come ragionamento?

Pappappero1
No...non e' vero. In questo modo si avrebbe che la mappa indotta in omotopia sarebbe costantemente $0$, e non e' vero. La mappa indotta e' la moltiplicazione per $2$. L'idea e' che se prendi un cammino che fa il giro della circonferenza esattamente una volta, allora la sua immagine attraverso $f$ fa il giro due volte.

In particolare, se chiamiamo $f_*$ la mappa indotta sui gruppi fondamentali, si ha $f_* : \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$. Se $f$ fosse omotopa all'identita', allora $f_*$ sarebbe l'identita'; invece $f_*$ manda $1$ in $2$.

lukath
Ah ok, ora è tutto chiaro. Grazie!

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