Applicazioni omotope
Salve a tutti!
Avrei un dubbio su un esercizio che riguarda l'omotopia tra applicazioni continue. E' data una funzione continua $f:S^1 \to S^1$ con $S^1 = {z in CC | |z|=1}$ e definita come $f(z) = z^2$. Mi si chiede di mostrare che non è omotopa alla funzione identica. All'inizio pensavo di dimostrare che non possono esistere omotopie tra le due applicazioni ma non saprei da dove iniziare. C'è un altro modo per dimostrarlo o bisogna per forza verificare la non esistenza di omotopie tra le due applicazioni? Grazie a tutti
Avrei un dubbio su un esercizio che riguarda l'omotopia tra applicazioni continue. E' data una funzione continua $f:S^1 \to S^1$ con $S^1 = {z in CC | |z|=1}$ e definita come $f(z) = z^2$. Mi si chiede di mostrare che non è omotopa alla funzione identica. All'inizio pensavo di dimostrare che non possono esistere omotopie tra le due applicazioni ma non saprei da dove iniziare. C'è un altro modo per dimostrarlo o bisogna per forza verificare la non esistenza di omotopie tra le due applicazioni? Grazie a tutti
Risposte
Se sai cosa e' il gruppo fondamentale di $S^1$ e come le funzioni continue inducono morfismi tra i gruppi fondamentali, puoi usare questo fatto e osservare che il morfismo indotto sui $\pi_1$ dalla tua $f$ non e' l'identita'. Questa e' la dimostrazione piu' semplice che ho in mente (e in realta' l'unica).
Tuttavia potrebbe esserci un modo facile per dimostrare questo fatto a mano.
Tuttavia potrebbe esserci un modo facile per dimostrare questo fatto a mano.
So che il gruppo fondamentale di $S^1$ è isomorfo a $ZZ$ e so che ogni funzione continua induce un omomorfismo tra gruppi fondamentali, ma non so come siano definire questi morfismi: in questo caso, considerando l'applicazione data, l'unico generatore del gruppo fondamentale di $S^1$ in cosa viene mappato tramite l'omomorfismo indotto?
Ci ho ripensato un attimo e ho tratto una conclusione, non so quanto giusta. Io so che $f$ induce un omomorfismo tra il gruppo fondamentale di $S^1$ e se stesso, e che, se $f$ fosse omotopa all'identità, il generatore $alpha$ del gruppo verrebbe mandato in se stesso tramite l'omomorfismo indotto. Ma se prendo come punto base del gruppo $z=1$, allora $alpha: [0,1] \to S^1$ è un cammino tale che $alpha(0)=1=alpha(1)$, mentre $f(alpha)$ può essere solo omotopo al cammino costante (almeno credo). Può essere giusto come ragionamento?
No...non e' vero. In questo modo si avrebbe che la mappa indotta in omotopia sarebbe costantemente $0$, e non e' vero. La mappa indotta e' la moltiplicazione per $2$. L'idea e' che se prendi un cammino che fa il giro della circonferenza esattamente una volta, allora la sua immagine attraverso $f$ fa il giro due volte.
In particolare, se chiamiamo $f_*$ la mappa indotta sui gruppi fondamentali, si ha $f_* : \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$. Se $f$ fosse omotopa all'identita', allora $f_*$ sarebbe l'identita'; invece $f_*$ manda $1$ in $2$.
In particolare, se chiamiamo $f_*$ la mappa indotta sui gruppi fondamentali, si ha $f_* : \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$. Se $f$ fosse omotopa all'identita', allora $f_*$ sarebbe l'identita'; invece $f_*$ manda $1$ in $2$.
Ah ok, ora è tutto chiaro. Grazie!
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