Applicazioni nilpotenti

isaac888
Salve a tutti.

Vorrei sottoporvi una soluzione alternativa di un esercizio del "Broglia Fortuna Luminati". Precisamente l'esercizio 14.
A me basta sapere se e' corretta:

Testo: Sia $N \in mathcalM_n(\mathbb{R})$ triangolare superiore stretta (ma io ho letto male e l'ho presa triangolare inferiore stretta. Tanto e' uguale...). Dimostrare che $N^n=0$.

dim: L'ipotesi di triangolarita' stretta equivale a dire che data $\mathcalC=\{e_1,...,e_n\}$ la base canonica, $N$ e' l'applicazione $f$ tale che:
$$f: e_i \longmapsto \sum_{j=i+1}^{n}{\alpha_j^{(i)}e_j}, \ \ \forall i\in\{1,...,n-1\}$$$$f: e_n \longmapsto 0$$(Attenzione: i coefficienti $\alpha$ sono dotati di pedice e quello tra parentesi e' un indice).
A questo punto, osservando casi semplici, deduco che vale la seguente osservazione:$$f^{n-1}(v)=\beta_1( \prod_{k=2}^n{\alpha_k^{(k-1)}})e_n$$per induzione su $n=dimV$, $\forall v\in V$, con $v=\sum_{r=1}^{n}\beta_r e_r$.

dim(osservazione): intanto se $n=1$ la tesi e' vera perche' $N$ e' la matrice nulla, percio' non considero questo caso.
Caso $n=2$: sia $v \in V \Rightarrow v=\beta_1e_1+\beta_2e_2 \Rightarrow f(v)=\beta_1f(e_1)+\beta_2f(e_2)=\beta_1f(e_1)$ perche' $f(e_2)=0$ per ipotesi. Allora $$f^{2-1}(v)=\beta_1\alpha_2^{(1)}e_2=\beta_1( \prod_{k=2}^2{\alpha_k^{(k-1)}})e_2$$poiche' $$f: e_1 \longmapsto \alpha_2^{(1)}e_2$$$$f: e_2 \longmapsto 0$$ e quindi va tutto bene.
Ora, supposto che valga per $n$ dimostro che vale per $n+1$:$$f(f^{n-1}(v))=f(\beta_1( \prod_{k=2}^n{\alpha_k^{(k-1)}})e_n)=\beta_1( \prod_{k=2}^n{\alpha_k^{(k-1)}})f(e_n)=\beta_1( \prod_{k=2}^{n+1}{\alpha_k^{(k-1)}})e_{n+1}$$ perche' $f(e_n)=\alpha_{n+1}^{(n)}e_{n+1}$. Allora l'osservazione e' dimostrata.
Segue immediatamente (nel caso $dimV=n$) che $$f^n(v)=f(f^{n-1}(v)=f(\beta_1( \prod_{k=2}^n{\alpha_k^{(k-1)}})e_n)=\beta_1( \prod_{k=2}^n{\alpha_k^{(k-1)}})f(e_n)=0, \forall v\in V$$perche' $f(e_n)=0$ per ipotesi.

La soluzione proposta dal libro la trovo un po' macchinosa e non mi piace... pero' e' giusta :P ... spero lo sia anche la mia.
Grazie in anticipo

Risposte
isaac888
Nel frattempo avrei pensato ad una dimostrazione ancora diversa (datemi qualche parere o ditemi se è sbagliata per favore):

Assumo che $f$ mandi i vettori della base come nella dimostrazione precedente, e chiamo $V_i=\{e_i,...e_n}$ $\forall i\in{2,..,n}$ e $V=\mathbb{R}^n$.
Osservo che $Im(f)\subseteqV_2$ (verifica banale) dal momento che $V_2\subseteq V_3\subseteq...\subseteq V_n$;
Mi chiedo se $Im(f^k)\subseteq V_{k+1}$ possa implicare $Im(f^{k+1})\subseteq V_{k+2}$ $\forall k\leq n$. Faccio perciò un'induzione sulla potenza di $f$:

Sia $v=\sum_{i=1}^{n}\beta_i e_i\in V$, allora $f^k(v)= \sum_{i=1}^{n}\beta_i f^k(e_i) \in V_{k+1}$ per ipotesi induttiva.
Siccome $f^k(e_i) \in V_{k+1} \Rightarrow f^k(e_i)=\sum_{j=k+1}^{n}\gamma_j e_j$ poichè $e_j \in V_{k+1} \forall j \in \{k+1,...,n\}$.
Allora $\forall v \in V$, $f^k(v)= \sum_{i=1}^{n}sum_{j=k+1}^{n}\beta_i \gamma_j e_j \Rightarrow f^{k+1}(v)= f(\sum_{i=1}^{n}sum_{j=k+1}^{n}\beta_i \gamma_j e_j)=\sum_{i=1}^{n}sum_{j=k+1}^{n}\beta_i \gamma_j f(e_j) \in V_{k+2}$ perchè $f(e_{k+1}) \in V_{k+2}$ per come è fatto l'endomorfismo. Inoltre $f(e_j) \in V_{j+1}\subseteq V_{k+1} \forall j>k+1$.

Da questo segue che $Im(f^{n-1}) \subseteq V_n=$ allora $Im(f^n)={0}$ poichè si sa che $f(e_n)=0$.

isaac888
up

Rispondi
Per rispondere a questa discussione devi prima effettuare il login.