Applicazioni nilpotenti
Salve a tutti.
Vorrei sottoporvi una soluzione alternativa di un esercizio del "Broglia Fortuna Luminati". Precisamente l'esercizio 14.
A me basta sapere se e' corretta:
Testo: Sia $N \in mathcalM_n(\mathbb{R})$ triangolare superiore stretta (ma io ho letto male e l'ho presa triangolare inferiore stretta. Tanto e' uguale...). Dimostrare che $N^n=0$.
dim: L'ipotesi di triangolarita' stretta equivale a dire che data $\mathcalC=\{e_1,...,e_n\}$ la base canonica, $N$ e' l'applicazione $f$ tale che:
$$f: e_i \longmapsto \sum_{j=i+1}^{n}{\alpha_j^{(i)}e_j}, \ \ \forall i\in\{1,...,n-1\}$$$$f: e_n \longmapsto 0$$(Attenzione: i coefficienti $\alpha$ sono dotati di pedice e quello tra parentesi e' un indice).
A questo punto, osservando casi semplici, deduco che vale la seguente osservazione:$$f^{n-1}(v)=\beta_1( \prod_{k=2}^n{\alpha_k^{(k-1)}})e_n$$per induzione su $n=dimV$, $\forall v\in V$, con $v=\sum_{r=1}^{n}\beta_r e_r$.
dim(osservazione): intanto se $n=1$ la tesi e' vera perche' $N$ e' la matrice nulla, percio' non considero questo caso.
Caso $n=2$: sia $v \in V \Rightarrow v=\beta_1e_1+\beta_2e_2 \Rightarrow f(v)=\beta_1f(e_1)+\beta_2f(e_2)=\beta_1f(e_1)$ perche' $f(e_2)=0$ per ipotesi. Allora $$f^{2-1}(v)=\beta_1\alpha_2^{(1)}e_2=\beta_1( \prod_{k=2}^2{\alpha_k^{(k-1)}})e_2$$poiche' $$f: e_1 \longmapsto \alpha_2^{(1)}e_2$$$$f: e_2 \longmapsto 0$$ e quindi va tutto bene.
Ora, supposto che valga per $n$ dimostro che vale per $n+1$:$$f(f^{n-1}(v))=f(\beta_1( \prod_{k=2}^n{\alpha_k^{(k-1)}})e_n)=\beta_1( \prod_{k=2}^n{\alpha_k^{(k-1)}})f(e_n)=\beta_1( \prod_{k=2}^{n+1}{\alpha_k^{(k-1)}})e_{n+1}$$ perche' $f(e_n)=\alpha_{n+1}^{(n)}e_{n+1}$. Allora l'osservazione e' dimostrata.
Segue immediatamente (nel caso $dimV=n$) che $$f^n(v)=f(f^{n-1}(v)=f(\beta_1( \prod_{k=2}^n{\alpha_k^{(k-1)}})e_n)=\beta_1( \prod_{k=2}^n{\alpha_k^{(k-1)}})f(e_n)=0, \forall v\in V$$perche' $f(e_n)=0$ per ipotesi.
La soluzione proposta dal libro la trovo un po' macchinosa e non mi piace... pero' e' giusta
... spero lo sia anche la mia.
Grazie in anticipo
Vorrei sottoporvi una soluzione alternativa di un esercizio del "Broglia Fortuna Luminati". Precisamente l'esercizio 14.
A me basta sapere se e' corretta:
Testo: Sia $N \in mathcalM_n(\mathbb{R})$ triangolare superiore stretta (ma io ho letto male e l'ho presa triangolare inferiore stretta. Tanto e' uguale...). Dimostrare che $N^n=0$.
dim: L'ipotesi di triangolarita' stretta equivale a dire che data $\mathcalC=\{e_1,...,e_n\}$ la base canonica, $N$ e' l'applicazione $f$ tale che:
$$f: e_i \longmapsto \sum_{j=i+1}^{n}{\alpha_j^{(i)}e_j}, \ \ \forall i\in\{1,...,n-1\}$$$$f: e_n \longmapsto 0$$(Attenzione: i coefficienti $\alpha$ sono dotati di pedice e quello tra parentesi e' un indice).
A questo punto, osservando casi semplici, deduco che vale la seguente osservazione:$$f^{n-1}(v)=\beta_1( \prod_{k=2}^n{\alpha_k^{(k-1)}})e_n$$per induzione su $n=dimV$, $\forall v\in V$, con $v=\sum_{r=1}^{n}\beta_r e_r$.
dim(osservazione): intanto se $n=1$ la tesi e' vera perche' $N$ e' la matrice nulla, percio' non considero questo caso.
Caso $n=2$: sia $v \in V \Rightarrow v=\beta_1e_1+\beta_2e_2 \Rightarrow f(v)=\beta_1f(e_1)+\beta_2f(e_2)=\beta_1f(e_1)$ perche' $f(e_2)=0$ per ipotesi. Allora $$f^{2-1}(v)=\beta_1\alpha_2^{(1)}e_2=\beta_1( \prod_{k=2}^2{\alpha_k^{(k-1)}})e_2$$poiche' $$f: e_1 \longmapsto \alpha_2^{(1)}e_2$$$$f: e_2 \longmapsto 0$$ e quindi va tutto bene.
Ora, supposto che valga per $n$ dimostro che vale per $n+1$:$$f(f^{n-1}(v))=f(\beta_1( \prod_{k=2}^n{\alpha_k^{(k-1)}})e_n)=\beta_1( \prod_{k=2}^n{\alpha_k^{(k-1)}})f(e_n)=\beta_1( \prod_{k=2}^{n+1}{\alpha_k^{(k-1)}})e_{n+1}$$ perche' $f(e_n)=\alpha_{n+1}^{(n)}e_{n+1}$. Allora l'osservazione e' dimostrata.
Segue immediatamente (nel caso $dimV=n$) che $$f^n(v)=f(f^{n-1}(v)=f(\beta_1( \prod_{k=2}^n{\alpha_k^{(k-1)}})e_n)=\beta_1( \prod_{k=2}^n{\alpha_k^{(k-1)}})f(e_n)=0, \forall v\in V$$perche' $f(e_n)=0$ per ipotesi.
La soluzione proposta dal libro la trovo un po' macchinosa e non mi piace... pero' e' giusta

Grazie in anticipo
Risposte
Nel frattempo avrei pensato ad una dimostrazione ancora diversa (datemi qualche parere o ditemi se è sbagliata per favore):
Assumo che $f$ mandi i vettori della base come nella dimostrazione precedente, e chiamo $V_i=\{e_i,...e_n}$ $\forall i\in{2,..,n}$ e $V=\mathbb{R}^n$.
Osservo che $Im(f)\subseteqV_2$ (verifica banale) dal momento che $V_2\subseteq V_3\subseteq...\subseteq V_n$;
Mi chiedo se $Im(f^k)\subseteq V_{k+1}$ possa implicare $Im(f^{k+1})\subseteq V_{k+2}$ $\forall k\leq n$. Faccio perciò un'induzione sulla potenza di $f$:
Sia $v=\sum_{i=1}^{n}\beta_i e_i\in V$, allora $f^k(v)= \sum_{i=1}^{n}\beta_i f^k(e_i) \in V_{k+1}$ per ipotesi induttiva.
Siccome $f^k(e_i) \in V_{k+1} \Rightarrow f^k(e_i)=\sum_{j=k+1}^{n}\gamma_j e_j$ poichè $e_j \in V_{k+1} \forall j \in \{k+1,...,n\}$.
Allora $\forall v \in V$, $f^k(v)= \sum_{i=1}^{n}sum_{j=k+1}^{n}\beta_i \gamma_j e_j \Rightarrow f^{k+1}(v)= f(\sum_{i=1}^{n}sum_{j=k+1}^{n}\beta_i \gamma_j e_j)=\sum_{i=1}^{n}sum_{j=k+1}^{n}\beta_i \gamma_j f(e_j) \in V_{k+2}$ perchè $f(e_{k+1}) \in V_{k+2}$ per come è fatto l'endomorfismo. Inoltre $f(e_j) \in V_{j+1}\subseteq V_{k+1} \forall j>k+1$.
Da questo segue che $Im(f^{n-1}) \subseteq V_n=$ allora $Im(f^n)={0}$ poichè si sa che $f(e_n)=0$.
Assumo che $f$ mandi i vettori della base come nella dimostrazione precedente, e chiamo $V_i=\{e_i,...e_n}$ $\forall i\in{2,..,n}$ e $V=\mathbb{R}^n$.
Osservo che $Im(f)\subseteqV_2$ (verifica banale) dal momento che $V_2\subseteq V_3\subseteq...\subseteq V_n$;
Mi chiedo se $Im(f^k)\subseteq V_{k+1}$ possa implicare $Im(f^{k+1})\subseteq V_{k+2}$ $\forall k\leq n$. Faccio perciò un'induzione sulla potenza di $f$:
Sia $v=\sum_{i=1}^{n}\beta_i e_i\in V$, allora $f^k(v)= \sum_{i=1}^{n}\beta_i f^k(e_i) \in V_{k+1}$ per ipotesi induttiva.
Siccome $f^k(e_i) \in V_{k+1} \Rightarrow f^k(e_i)=\sum_{j=k+1}^{n}\gamma_j e_j$ poichè $e_j \in V_{k+1} \forall j \in \{k+1,...,n\}$.
Allora $\forall v \in V$, $f^k(v)= \sum_{i=1}^{n}sum_{j=k+1}^{n}\beta_i \gamma_j e_j \Rightarrow f^{k+1}(v)= f(\sum_{i=1}^{n}sum_{j=k+1}^{n}\beta_i \gamma_j e_j)=\sum_{i=1}^{n}sum_{j=k+1}^{n}\beta_i \gamma_j f(e_j) \in V_{k+2}$ perchè $f(e_{k+1}) \in V_{k+2}$ per come è fatto l'endomorfismo. Inoltre $f(e_j) \in V_{j+1}\subseteq V_{k+1} \forall j>k+1$.
Da questo segue che $Im(f^{n-1}) \subseteq V_n=
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