Applicazioni multilineari alternanti e \( A_k \)
Ciao. Vorrei capire meglio una cosa sul gruppo simmetrico.
Prendiamo un \( C \)-spazio vettoriale \( V \) di base \( \mathcal V = \left\{v_1,\dots,v_n\right\} \), e consideriamo \( \binom nk \) scalari \( c_{I(1),\dots,I(k)}\in C \) al variare di \( I \) nell'insieme \( \mathscr I_n^k \) (di cardinalità \( \binom nk \)) delle funzioni crescenti \( \{1,\dots,k\}\to\{1,\dots,n\} \). L'applicazione \( A\colon V^k\to C \) che mappa
\[
\Bigl(\sum_{i_1 = 1}^na_{i_11}v_{i_1},\dots,\sum_{i_k = 1}^na_{i_kk}v_{i_k}\Bigr)\mapsto\sum_{I\in\mathscr I_n^k}\Bigl(\sum_{\sigma\in S_k}\epsilon(\sigma)a_{I(\sigma(1))1}\cdots a_{I(\sigma(k))k}\Bigr)c_{I(1),\dots,I(k)}
\] dove con \( \epsilon(\sigma) \) denoto la parità di \( \sigma \), è sicuramente \( k \)-lineare; per dimostrare che è alternante, dovrebbe entrare in gioco il fatto che \( S_k \) si partiziona come \( S_k = A_k\amalg (-1)_k \), dove \( A_k \) è il gruppo alterno su \( k \) elementi.
Domanda: perché? Qualcuno mi potrebbe dimostrare che \( A \) è alternante mettendo in rilievo il passaggio dove viene usato quel fatto? perché sto impazzendo
Prendiamo un \( C \)-spazio vettoriale \( V \) di base \( \mathcal V = \left\{v_1,\dots,v_n\right\} \), e consideriamo \( \binom nk \) scalari \( c_{I(1),\dots,I(k)}\in C \) al variare di \( I \) nell'insieme \( \mathscr I_n^k \) (di cardinalità \( \binom nk \)) delle funzioni crescenti \( \{1,\dots,k\}\to\{1,\dots,n\} \). L'applicazione \( A\colon V^k\to C \) che mappa
\[
\Bigl(\sum_{i_1 = 1}^na_{i_11}v_{i_1},\dots,\sum_{i_k = 1}^na_{i_kk}v_{i_k}\Bigr)\mapsto\sum_{I\in\mathscr I_n^k}\Bigl(\sum_{\sigma\in S_k}\epsilon(\sigma)a_{I(\sigma(1))1}\cdots a_{I(\sigma(k))k}\Bigr)c_{I(1),\dots,I(k)}
\] dove con \( \epsilon(\sigma) \) denoto la parità di \( \sigma \), è sicuramente \( k \)-lineare; per dimostrare che è alternante, dovrebbe entrare in gioco il fatto che \( S_k \) si partiziona come \( S_k = A_k\amalg (-1)_k \), dove \( A_k \) è il gruppo alterno su \( k \) elementi.
Domanda: perché? Qualcuno mi potrebbe dimostrare che \( A \) è alternante mettendo in rilievo il passaggio dove viene usato quel fatto? perché sto impazzendo
Risposte
Quella che hai scritto in coordinate è una rappresentazione \(\rho : \text{Sym}(n) \to \text{GL}_n(V^\lor)\); detto questo, il suo nucleo è esattamente il gruppo alternante, come puoi verificare controllando che da un lato, se una permutazione è nel ker del segno, allora \(\rho\) la manda a zero; dall'altro, valutando \(\rho(g)\) su una base, puoi vedere che se fa l'identità allora deve stare nel ker del segno. E quindi hai finito.
Riusciresti a spiegarmi in che modo ho definito quella rappresentazione? Con \( \mathrm{GL}_n(V^\lor) \) indichi il gruppo degli automorfismi del duale di \( V \), giusto? Grazie!
"marco2132k":
Riusciresti a spiegarmi in che modo ho definito quella rappresentazione? Con \( \mathrm{GL}_n(V^\lor) \) indichi il gruppo degli automorfismi del duale di \( V \), giusto? Grazie!
Sì, ma volevo scrivere \( \mathrm{GL}_n(\bigwedge^k V^\lor)\) invece di \( \mathrm{GL}_n(V^\lor)\).
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