Applicazioni lineari: tipico esercizio.
Dunque, cercando di riassumere tutto ciò che mi è stato detto su una generica applicazione lineare, enuncerò le proprietà che mi sono state date, e che sono cinque. Per brevità forse sgarrerò qualche definizione, ma spero si capisca lo stesso a cosa voglio alludere. In ogni caso, chiarirò dopo, se necessario.
Faccio questo preambolo perchè non ho fatto molta teoria riguardo alle applicazioni lineari, come ben saprà già chi ha letto qualche mia discussione precedente. Lo faccio per far capire quanto dovrei sapere, e su cosa dovrei basarmi per ragionare.
TEOREMA FONDAMENTALE DELLE APPLICAZIONI LINEARI:
Un' applicazione lineare è nota se, data una base ordinata del dominio, si conoscono le immagini degli elementi della base ordinata secondo l'applicazione.
Proprietà delle applicazioni lineari.
1) L'applicazione lineare conserva la dipendenza lineare;
2) Se l'applicazione, oltre ad essere lineare, è anche iniettiva, conserva l'indipendenza lineare.
3) Data un'applicazione
$f : v in V \to f(v) in W$
Se f è lineare e $u_1, ..., u_n$ generano $V$, allora $f(u_1),..., f(u_n)$ generano $T$, dove $T=f(V)$
4) Se f è un isomorfismo, allora, dati $u_1, ..., u_n$ elementi di una base di V, le immagini secondo $f$ saranno una base di W.
5) Se f è iniettiva, allora equivalentemente $N(f) = {0}$, con $0$ vettore nullo.
Possiamo a questo punto passare ad analizzare qualche esercizio, basandoci solo sugli elementi a mia disposizione. Il testo cita, per la risoluzione di questi esercizi, il "teorema di nullità più rango", che io ignoro e penso di dover ignorare, almeno per un po', anche se mi farebbe molto comodo impararlo, secondo me
Data una certa funzione, devo discuterne l'iniettività e la suriettività. Nei casi in cui trovo dei parametri, si tratta di un' autentica discussione; nei casi in cui non ci sono parametri, si tratta di una semplice determinazione.
Per quanto riguarda l'iniettività è semplice, se si sfrutta la 5a proprietà da me elencata.
Per quanto riguarda la suriettività, credo di dover ragionare sul codominio. Ad esempio, se esso è $R^4$, la sua dimensione, come è noto, è 4, di conseguenza dovrei prima applicare la 3a proprietà ai vettori della base canonica del dominio, trovare le immagini secondo $f$ e stabilirne l'indipendenza o la dipendenza. Se tra i generatori dell'immagine di f ci saranno massimo 4 vettori indipendenti, allora avrò che $f(V)=W $, il che mi pare possa bastare per dire che la funzione sia suriettiva (chiedo conferma a voi su quest'ultimo punto).
Ho fatto bene? Dove ho sbagliato se non ho fatto bene? Cosa ho dimenticato e/o sottovalutato e/o ignorato?
Faccio questo preambolo perchè non ho fatto molta teoria riguardo alle applicazioni lineari, come ben saprà già chi ha letto qualche mia discussione precedente. Lo faccio per far capire quanto dovrei sapere, e su cosa dovrei basarmi per ragionare.
TEOREMA FONDAMENTALE DELLE APPLICAZIONI LINEARI:
Un' applicazione lineare è nota se, data una base ordinata del dominio, si conoscono le immagini degli elementi della base ordinata secondo l'applicazione.
Proprietà delle applicazioni lineari.
1) L'applicazione lineare conserva la dipendenza lineare;
2) Se l'applicazione, oltre ad essere lineare, è anche iniettiva, conserva l'indipendenza lineare.
3) Data un'applicazione
$f : v in V \to f(v) in W$
Se f è lineare e $u_1, ..., u_n$ generano $V$, allora $f(u_1),..., f(u_n)$ generano $T$, dove $T=f(V)$
4) Se f è un isomorfismo, allora, dati $u_1, ..., u_n$ elementi di una base di V, le immagini secondo $f$ saranno una base di W.
5) Se f è iniettiva, allora equivalentemente $N(f) = {0}$, con $0$ vettore nullo.
Possiamo a questo punto passare ad analizzare qualche esercizio, basandoci solo sugli elementi a mia disposizione. Il testo cita, per la risoluzione di questi esercizi, il "teorema di nullità più rango", che io ignoro e penso di dover ignorare, almeno per un po', anche se mi farebbe molto comodo impararlo, secondo me
Data una certa funzione, devo discuterne l'iniettività e la suriettività. Nei casi in cui trovo dei parametri, si tratta di un' autentica discussione; nei casi in cui non ci sono parametri, si tratta di una semplice determinazione.
Per quanto riguarda l'iniettività è semplice, se si sfrutta la 5a proprietà da me elencata.
Per quanto riguarda la suriettività, credo di dover ragionare sul codominio. Ad esempio, se esso è $R^4$, la sua dimensione, come è noto, è 4, di conseguenza dovrei prima applicare la 3a proprietà ai vettori della base canonica del dominio, trovare le immagini secondo $f$ e stabilirne l'indipendenza o la dipendenza. Se tra i generatori dell'immagine di f ci saranno massimo 4 vettori indipendenti, allora avrò che $f(V)=W $, il che mi pare possa bastare per dire che la funzione sia suriettiva (chiedo conferma a voi su quest'ultimo punto).
Ho fatto bene? Dove ho sbagliato se non ho fatto bene? Cosa ho dimenticato e/o sottovalutato e/o ignorato?
Risposte
Supponi $f:V to W$, $f in "Hom"(V,W)$ (ovvero $f$ lineare di $V$ in $W$). $f(V)=W$ è proprio la definizione di suriettività.
A mio modo di vedere, il teorema "nullità più rango" dovresti studiarlo. Ti dice che $"dim"V="dim"N(f)+"dim"R(f)$, quindi a esempio se $"dim"V < "dim"W$ nessuna applicazione lineare $f:V to W$ può essere suriettiva. Comunque quello che dici è tutto corretto (salvo sviste).
A mio modo di vedere, il teorema "nullità più rango" dovresti studiarlo. Ti dice che $"dim"V="dim"N(f)+"dim"R(f)$, quindi a esempio se $"dim"V < "dim"W$ nessuna applicazione lineare $f:V to W$ può essere suriettiva. Comunque quello che dici è tutto corretto (salvo sviste).
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