Applicazioni lineari, problema da terna a polinomio di 4grad
Buonasera!
Sono 2 giorni che sono fermo su questo esercizio, non riesco a salterne fuori in alcun modo
cortesemente, c'è qualcuno che è in grado di svolgerlo ed è disposto a spiegarmi come si fa?
Grazie mille in anticipo per l'aiuto
lìesercizio è questo:
Dati $V=RR^3, V^1=RR_4[x]$
$v_1=(1,-1,0), v_2=(2,1,1), v_3=(0,3,1) in V$
$w_1=1+x+2x^2-x^3+x^4, w_2=2-x+2x^2, w_3=-3x-2x^2+2x^3-2x^4 in V^1$
esistono applicazioni lineari tali che $f(vi)=wi AAi=1,2,3?$
se la risposta è si trovarne 2.
Sono 2 giorni che sono fermo su questo esercizio, non riesco a salterne fuori in alcun modo
cortesemente, c'è qualcuno che è in grado di svolgerlo ed è disposto a spiegarmi come si fa?
Grazie mille in anticipo per l'aiuto
lìesercizio è questo:
Dati $V=RR^3, V^1=RR_4[x]$
$v_1=(1,-1,0), v_2=(2,1,1), v_3=(0,3,1) in V$
$w_1=1+x+2x^2-x^3+x^4, w_2=2-x+2x^2, w_3=-3x-2x^2+2x^3-2x^4 in V^1$
esistono applicazioni lineari tali che $f(vi)=wi AAi=1,2,3?$
se la risposta è si trovarne 2.
Risposte
Un' applicazione lineare è univocamente determinata da come agisce sui vettori di una base di $V$.
Detto ciò ti basta verificare che i vettori di $V$ assegnati, i $v_i$ siano linearmente indipendenti.
Ora però mi chiedo: queste applicazioni devono essere tali che $f(v_i)=w_i$ o $f(v_i)=w_j$. La differenza è che nel primo caso esiste una sola applicazione che opera così, nel secondo caso se ne possono costruire di più.
In pratica, verificato che ${v_1,v_2,v_3}$ è una base, possiamo costruire $f$ in modo che $f(v_1)=w_1,f(v_2)=w_2,f(v_3)=w_3$. Oppure (chiarito il punto cui sopra), potremmo costruirne un'altra semplicemente variando le immagini che esse assumono (cioè cambiando i $w_i$)
Spero di essere stato chiaro!
Detto ciò ti basta verificare che i vettori di $V$ assegnati, i $v_i$ siano linearmente indipendenti.
Ora però mi chiedo: queste applicazioni devono essere tali che $f(v_i)=w_i$ o $f(v_i)=w_j$. La differenza è che nel primo caso esiste una sola applicazione che opera così, nel secondo caso se ne possono costruire di più.
In pratica, verificato che ${v_1,v_2,v_3}$ è una base, possiamo costruire $f$ in modo che $f(v_1)=w_1,f(v_2)=w_2,f(v_3)=w_3$. Oppure (chiarito il punto cui sopra), potremmo costruirne un'altra semplicemente variando le immagini che esse assumono (cioè cambiando i $w_i$)
Spero di essere stato chiaro!
"mistake89":
Un' applicazione lineare è univocamente determinata da come agisce sui vettori di una base di $V$.
Detto ciò ti basta verificare che i vettori di $V$ assegnati, i $v_i$ siano linearmente indipendenti.
Ora però mi chiedo: queste applicazioni devono essere tali che $f(v_i)=w_i$ o $f(v_i)=w_j$. La differenza è che nel primo caso esiste una sola applicazione che opera così, nel secondo caso se ne possono costruire di più.
In pratica, verificato che ${v_1,v_2,v_3}$ è una base, possiamo costruire $f$ in modo che $f(v_1)=w_1,f(v_2)=w_2,f(v_3)=w_3$. Oppure (chiarito il punto cui sopra), potremmo costruirne un'altra semplicemente variando le immagini che esse assumono (cioè cambiando i $w_i$)
Spero di essere stato chiaro!
si, è richiesto di verificare se esistono applicazioni lineari tali che $f(vi)=wi$, quindi i vari $f(v_1)=w_1, f(v_2)=w_2, f(v_3)=w_3$, da quello che ho capito dall'esercizio. e se esistono trovarne almeno 2...
poi da quello che ho capito dalla tua spiegazione per verificare che i 3 vettori $v_1, v_2, v_3$ sono linearmente indipendenti, e quindi soddisfare la condizione necessaria per fare in modo che siano una base, devono essere:
$X_1v_1+X_2v_2+X_3v_3=0$, ossia $X1(1,-1,0)+X2(2,1,1)+X3(0,3,1)=(0,0,0)$
svolgendo mi salta fuori che $X1=-2, X2=1, X3=-1$, quindi la n-upla delle componenti non è tutta nulla, quindi deduco che non i vettori non possono formare una base... allora non può esistere alcuna applicazione?
Non è che non può esistere. Non può essere definita solo attraverso questi vettori.
Intuitivamente il concetto è semplice. Se non definisci le immagini dei vettori di una base di uno spazio (cioè di quei vettori le cui combinazioni lineari ti restituiscono tutti i vettori dello spazio) ci saranno vettori che non sai dove mandare tramite la tua applicazione.
I calcoli non li ho controllati per bene, ma se dovesse essere come dici tu, la tua applicazione non è definita. Potresti scartare un vettore linearmente dipendente, completare ad una base di $RR^3$ i tuoi vettori linearmente indipendenti e su questa nuova base definire le immagini. Ora di applicazioni, ce ne sono molte più di due
PS La definizione di lineare indipendenza che hai scritto non è giusta. Una combinazione lineare nulla la puoi sempre scrivere. Ciò che si richiede è che gli scalari siano necessariamente nulli!
Intuitivamente il concetto è semplice. Se non definisci le immagini dei vettori di una base di uno spazio (cioè di quei vettori le cui combinazioni lineari ti restituiscono tutti i vettori dello spazio) ci saranno vettori che non sai dove mandare tramite la tua applicazione.
I calcoli non li ho controllati per bene, ma se dovesse essere come dici tu, la tua applicazione non è definita. Potresti scartare un vettore linearmente dipendente, completare ad una base di $RR^3$ i tuoi vettori linearmente indipendenti e su questa nuova base definire le immagini. Ora di applicazioni, ce ne sono molte più di due
PS La definizione di lineare indipendenza che hai scritto non è giusta. Una combinazione lineare nulla la puoi sempre scrivere. Ciò che si richiede è che gli scalari siano necessariamente nulli!
"mistake89":
Non è che non può esistere. Non può essere definita solo attraverso questi vettori.
Intuitivamente il concetto è semplice. Se non definisci le immagini dei vettori di una base di uno spazio (cioè di quei vettori le cui combinazioni lineari ti restituiscono tutti i vettori dello spazio) ci saranno vettori che non sai dove mandare tramite la tua applicazione.
I calcoli non li ho controllati per bene, ma se dovesse essere come dici tu, la tua applicazione non è definita. Potresti scartare un vettore linearmente dipendente, completare ad una base di $RR^3$ i tuoi vettori linearmente indipendenti e su questa nuova base definire le immagini. Ora di applicazioni, ce ne sono molte più di due
PS La definizione di lineare indipendenza che hai scritto non è giusta. Una combinazione lineare nulla la puoi sempre scrivere. Ciò che si richiede è che gli scalari siano necessariamente nulli!
si, è vero, imprecisione mia! Quei vettori per essere linearmente indipenti devono dare fuori $X_1=X_2=X_3=0$. ma se non è così, come nel mio caso? come dovrei proseguire?
Prendi una base di $RR^3$, generica, che contenga i tuoi vettori linearmente indipendenti tra quelli assegnati ed associa loro delle immagini, in modo tale che $f(v_i)=w_i$, dove $v_i,i=1,2,3$ sono i vettori della tua nuova base.
Tieni conto che la nuova base, nella sua costruzione, è arbitraria, quindi puoi costruirti sicuramente due applicazioni come quelle richieste.
Tieni conto che la nuova base, nella sua costruzione, è arbitraria, quindi puoi costruirti sicuramente due applicazioni come quelle richieste.
"mistake89":
Prendi una base di $RR^3$, generica, che contenga i tuoi vettori linearmente indipendenti tra quelli assegnati ed associa loro delle immagini, in modo tale che $f(v_i)=w_i$, dove $v_i,i=1,2,3$ sono i vettori della tua nuova base.
Tieni conto che la nuova base, nella sua costruzione, è arbitraria, quindi puoi costruirti sicuramente due applicazioni come quelle richieste.
allora, ho provato, non so se sia giusto ma riporto i miei passaggi:
i 3 vettori $w_1, w_2, w_3$ li ho interpretati così: $w_1=(1,1,2,-1,1), w_2=(2,-1,2,0,0), w_3=(0,-3,-2,2,-2)$
mentre i vettori $v_1=(1,-1,2), v_2=(2,1,1), v_3=(0,3,1)$ sono base di $RR^3$, quindi $B={v_1, v_2, v_3}$
metto a sistema $f(v_i)=w_i$:
$\{(f(1,-1,2)=(1,1,2,-1,1)),(f(2,1,1)=(2,-1,2,0,0)),(f(0,3,1)=(0,-3,-2,2,-2)):}$
ora, prendo un vettore $v$ qualunque, ossia $v=(2,1,0)$
so che $[v]_B=(X_1, X_2, X_3)
quindi $f(v)=X_1w_1+X_2w_2+X_3w_3$
$X_1(1,-1,2)+X_2(2,1,1)+X_3(0,3,1)=(2,1,0)$
$(X_1+2X_2, -X_1+X_2+3X_3, 2X_1+X_2+X_3)=(2,1,0)$
segue che:
$\{(X_1+2X_2=2),(-X_1+X_2+3X_3=1),(2X_1+X_2+X_3=0):}$
$((1,2,0,2),(-1,1,3,1),(2,1,1,0))$ $=>$ $((1,2,0,2),(0,3,3,3),(0,-3,1,-4))$ $=>$ $((1,2,0,2),(0,1,1,1),(0,0,4,-1))$
(non so come inserire i trattini verticali che separano l'ultima colonna della matrice, ma in questa matrice dovrebbero esserci
)$\{(X_1+2X_2=2),(X_2+X_3=1),(4X_3=-1):}$
da questo sistema ricavo che:
$X_1=-1/2, X_2=5/4, X_3=-1/4$
quindi $[(2,1,0)]_B=(-1/2, 5/4, -1/4)$
allora: $f(2,1,0)=-1/2(1,1,2,-1,1)+5/4(2,-1,2,0,0)-1/4(0,-3,-2,2,-2)$
$f(2,1,0)=(-1/2+5/2, -1/2-5/4+3/4, -1+5/2+1/2, 1/2-1/2, -1/2+1/2)=(2,-1,2,0,0)$
è giusto? ci sono vicino?
Non ho controllato i calcoli, ma l'idea è quella giusta.
Ogni vettore puoi scriverlo come combinazione lineare dei vettori di una base, per cui assegnate le immagini su una base e sfruttando la linearità dell'applicazione puoi ricondurti sempre a quelle immagini.
Ogni vettore puoi scriverlo come combinazione lineare dei vettori di una base, per cui assegnate le immagini su una base e sfruttando la linearità dell'applicazione puoi ricondurti sempre a quelle immagini.
"mistake89":
Non ho controllato i calcoli, ma l'idea è quella giusta.
Ogni vettore puoi scriverlo come combinazione lineare dei vettori di una base, per cui assegnate le immagini su una base e sfruttando la linearità dell'applicazione puoi ricondurti sempre a quelle immagini.
riassumendo, se ho capito bene:
i 3 vettori appartenti ad $RR^3$ sono base B di $RR^3$, e questi 3 vettori, con adeguata applicazione, generano rispettivamente i vettori $w_1, w_2, w_3$.
ora, se io trovo le coordinate di un altro vettore qualunque, che lo chiamo $v$, rispetto alla base B, posso anche trovarmi il vettore $w$ generato dal vettore $v$, utilizzando la formula $f(v)=X_1w_1+X_2w_2+X_3w_3$, perchè $w_1, w_2, w_3$ non sono altro che il risultato dell'applicazione di $f$ sui vettori $v_1, v_2, v_3$, giusto?
Direi generare i vettori non è un'epsressione che mi piace molto ma il senso è quello.
Se hai una base allora ogni vettore di uno spazio $V$ è loro combinazione lineare. Diciamo $v=a_1v_1+...+a_nv_n$. Se definiamo un'applicazione lineare sui vettori di una base (ciò assegniamo loro un'immagine), sfrutto la linearità degli scalari si ha che $f(v)=a_1f(v_1)+...+a_nf(v_n)=a_1w_1+...+a_nw_n$ avendo posto $f(v_i)=w_i$
Se hai una base allora ogni vettore di uno spazio $V$ è loro combinazione lineare. Diciamo $v=a_1v_1+...+a_nv_n$. Se definiamo un'applicazione lineare sui vettori di una base (ciò assegniamo loro un'immagine), sfrutto la linearità degli scalari si ha che $f(v)=a_1f(v_1)+...+a_nf(v_n)=a_1w_1+...+a_nw_n$ avendo posto $f(v_i)=w_i$
"mistake89":
Direi generare i vettori non è un'epsressione che mi piace molto ma il senso è quello.
Se hai una base allora ogni vettore di uno spazio $V$ è loro combinazione lineare. Diciamo $v=a_1v_1+...+a_nv_n$. Se definiamo un'applicazione lineare sui vettori di una base (ciò assegniamo loro un'immagine), sfrutto la linearità degli scalari si ha che $f(v)=a_1f(v_1)+...+a_nf(v_n)=a_1w_1+...+a_nw_n$ avendo posto $f(v_i)=w_i$
wow! Ho capito
grazie infinite per l'aiuto mistake, davvero!
Di nulla. Buono studio 
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