Applicazioni lineari problem

[xthegame89x]

ciao a tutti! ho sempre il solito problema del cavolo... praticamente certe volte mi ritrovo con la matrice associata a un endomorfismo rispetto a una ben determinata base, oppure mi trovo direttamente con i valori che vengono associati ai vettori di una base qualsiasi tramite un endomorfismo... quello che vorrei sapere è: come cavolo trovo questo benedetto endomorfismo??? cioè come mi trovo la formula

\(\displaystyle f(x,y,z)=(x+y,y+z,x) \)

tanto per fare un esempio

[_prime_number]

Allora, prendiamo un endomorfismo nello spazio generico $n$-dimensionale $V$ (su campo $\mathbb{K}$). Consideriamo due basi:
$B={b_1,...,b_n}, C={c_1,...,c_n}$
e supponiamo tu abbia la matrice $A=(a_{ij})$ dell'applicazione rispetto a $B$ nel dominio e $C$ nel codominio. Prendiamo un vettore generico considerato in coordinate rispetto alla base $B$ $(x_1,...,x_n)_B$ (nel tuo esempio sarebbe $(x,y,z)$). Essere in coordinate rispetto alla base $B$ significa che il vettore può essere scritto come:
$(x_1,...,x_n)_B=\sum_{j=1}^n x_j b_j$
Dunque la tua applicazione, essendo lineare, agirà così:
$f( (x_1,...,x_n)_B)=\sum_{j=1}^n x_j f(b_j)$
Ma $f(b_j)$ corrisponde alla $j$-esima colonna della matrice $A$ ed è un vettore in coordinate rispetto alla base $C$. Così ottieni la forma che volevi. Un esempio:
$f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R^2}$, $B=\{(1,1),(0,1)\}, C=\{(2,3),(1,1)\}, A=((-2,0),(1,-7))$
Consideriamo il generico vettore $(x,y)_B= x(1,1)+y(0,1)$.
$f( (x,y)_B)= x f(1,1) + y f(0,1)=x(-2,1)_C +y(0,-7)_C$

Paola

[xthegame89x]

grazie mille, Paola!