Applicazioni lineari, matrici associate...

[g.i.o115]

Buonasera, a breve avrò l'esame di algebra(mi sa che però lo rimanderò a fine mese perchè mi sono dedicato troppo ad analisi1 fino ad ora probabilmente) e sto svolgendo i temi d'esame degli anni passati per esercitarmi...arrivato a questo esercizio mi sono un po' incartato e so cosa dovrei riuscire a fare ma non saprei come applicarlo...
l'esercizio è questo:
http://img694.imageshack.us/img694/3176/dscn1442kf.jpg

------1)nella prima parte in poche parole dovrei usare la proposizione che dice che f(v+w)=f(v)+f(w) e inoltre f(λv)= λf(v) ma come posso applicarla in questo caso considerando il fatto che per questo tipo di es non accetterebbe una dimostrazione numerica?dovrei crearmi una matrice A fatta in che modo?


-----2)Nel secondo caso, non mi è ben chiaro come poter usare una base così espressa, solitamente ho operato in R2,R3,R4, Spazi dei polinomi ma in R22 non mi è mai capitato e penso sia leggermente diverso il da farsi...

----3 e 4) seguono da 2...

grazie

[ciampax]

1) Mi sa che ti stai facendo dei problemi inutili. Nelle "regole" che hai esposto devi porre $v=A,\ w=B$ due matrici e vedere cosa viene fuori se calcoli $f(A+B)$.

2) Le regole sono sempre le stesse: applica $f$ ad ogni singola matrice della base e vedi come esprimere le matrici che ne escono fuori come elementi della base stessa. Ad esempio, considerando la prima matrice (le indico con $E_1,\ldots,E_4$ per non riscriverle tutte)

$f(E_1)=E_1+2E_1^t=((1,2),(1,1))+((2,2),(4,2))=((3,4),(5,3))=xE_1+yE_2+wE_3+zE_4$

e devi determinare i valori di $x,y,w,z$. Lo stesso per le altre matrici. In questo modo scriverai una rappresentazione della tua $f$.

Per i punti 3) e 4) i procedimenti sono simili a quelli che hai visto in altri esercizi dello stesso tipo.

[g.i.o115]

In effetti mi sono fatto qualche problema di troppo...
grazie mille!