Applicazioni lineari, matrice associata con basi.

[marco.palu9]

Salve ragazzi, avrei bisogno di un vostro aiuto per capire come poter svolgere un'esercizio..
L'esercizio mi dice: sia f: R^4 --> R^2 con matrice associata A = prima riga(1 0 0 1) seconda riga(-1 1 2 -1), rispetto alle basi:
B= {(1,1,0,0),(1,0,0,0),(2,0,0,1),(0,0,1,0)} compresa in R^4 e B' ={(1,1), (1,0) }.
Vorrei sapere come faccio a esprimere i vettori della base canonica di R^4 rispetto alla base B. So che i vettori canonici in questo caso sono (1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1).
Non voglio che mi sia fatto l'esercizio ma vorrei capire come dovrei procedere..Grazie in anticipo a chi risponderà

[garnak.olegovitc1]

"marco.palu9":
Vorrei sapere come faccio a esprimere i vettori della base canonica di R^4 rispetto alla base B. So che i vettori canonici in questo caso sono (1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1).
Non voglio che mi sia fatto l'esercizio ma vorrei capire come dovrei procedere..Grazie in anticipo a chi risponderà

calcola le componenti/coordinate di \(e_i\) rispetto alla base \(B\).. per ipotesi hai che \( \Bbb{R}^4=\mathscr{L}((1,1,0,0),(1,0,0,0),(2,0,0,1),(0,0,1,0))\) e i generatori sono anche indipendenti (cioè \(B\) è una base), ergo cosa puoi fare/dire in merito?

[marco.palu9]

Allora io le componenti le svolgo ponendo x(1,1,0,0) +y(1,0,0,0) +z(2,0,0,1)+t(0,0,1,0) e porto in sistema in questo caso quindi avrò x=b, t=c, z=d e y= a-2d+b. quindi avrò (x,y,z,t) = (b, a-2d+b, d, c). quindi andando a trovare le componenti dei vettori di base canonica in questo caso avrò che (1,0,0,0) = (0,1,0,0); (0,1,0,0) = ( 1, -1, 0 ,0); (0,0,1,0) = (0,0,0,1) ; (0,0,0,1) = (0, -2; 1,0). Dimmi te se ho sbagliato qualcosa. comunque sia svolgendo in questo modo il risultato risulta giusto

[garnak.olegovitc1]

"marco.palu9": in questo caso avrò che (1,0,0,0) = (0,1,0,0); (0,1,0,0) = ( 1, -1, 0 ,0); (0,0,1,0) = (0,0,0,1) ; (0,0,0,1) = (0, -2; 1,0). Dimmi te se ho sbagliato qualcosa. comunque sia svolgendo in questo modo il risultato risulta giusto

si, die schreibenweise=il modo di scrivere risulta non tanto corretto comunque; cioè quelle uguaglianze sono false, sarebbe più opportuno scrivere nel seguente modo* $$[(1,0,0,0)]_B = (0,1,0,0)$$$$ [(0,1,0,0)]_B = ( 1, -1, 0 ,0)$$$$ [(0,0,1,0)]_B = (0,0,0,1)$$$$[(0,0,0,1)]_B = (0, -2, 1,0)$$
[size=50]*trovo orrenda quella spiegazione.. [/size]

[marco.palu9]

Io ho scritto questo modo per fare i calcoli però di solito scrivo direttamente
[(1,0,0,0)]B=(0,1,0,0)
[(0,1,0,0)]B=(1,−1,0,0)
[(0,0,1,0)]B=(0,0,0,1)
[(0,0,0,1)]B=(0,−2,1,0).

Comunque poi se non chiedo troppo volevo fare un'ultima domanda, l'esercizio mi chiede di calcolare le immagini dei vettori ei, i=1,...,4 rispetto a f, in questo caso come dovrei comportarmi?

[garnak.olegovitc1]

"marco.palu9":
Comunque poi se non chiedo troppo volevo fare un'ultima domanda, l'esercizio mi chiede di calcolare le immagini dei vettori ei, i=1,...,4 rispetto a f, in questo caso come dovrei comportarmi?

considera le immagini di ciascuno \(e_i\) rispetto ad \( f \) ed applica l'ipotesi di avere un omomorfismo da \( \Bbb{R}^4\) in \( \Bbb{R}^2\) (ricordati cosa rappresentano le colonne della matrice associata, nel tuo caso, ad \(f\) )