Applicazioni Lineari (matrice associata)

[A.l.e.c.s]

Assegnata l’applicazione lineare \(\displaystyle L : R^2 → R^2 \), definita da \(\displaystyle L(x, y) = (3x + 2y, 3x + 4y) \),determinare la matrice associata a \(\displaystyle L \) mediante la base \(\displaystyle B = ((2, 0), (0, 3)) \)

io so che la matrice associata ad un'applicazione lineare è la matrice che ha come colonne i vettori ottenuti dall'applicazione lineare stessa attraverso la base data..facendo i calcoli ottengo:
\(\displaystyle L(2,0) = ( 6 , 6 ) \)
\(\displaystyle L(0,3) = ( 6 , 12) \)
perciò la matrice associata mi diventa :\(\displaystyle \begin{pmatrix}6 & 6 \\6 & 12\\\end{pmatrix} \) ma il risultato dovrebbe essere\(\displaystyle \begin{pmatrix}3 & 3 \\2 & 4 \end{pmatrix} \ \) . a me sembra che le colonne della matrice sono i vettori formati dai coefficienti delle \(\displaystyle x \) e delle \(\displaystyle y \) dell'applicazione lineare \(\displaystyle L \) ..è molto strana come coincidenza e questo risultato potrebbe uscire soltanto con base canonica mettendo i vettori in riga e non per colonne come nella definizione..qualcuno mi può dire dove sbaglio..forse non ho capito bene cosa vuol dire matrice associata..Grazie

[BRN1]

Ciao,
l'applicazione che ti è stata data è riferita alla base canonica in $RR^2$ e il tuo ragionamento, per certi versi, è corretto. Quello che ti manca è un semplice cambio di base.

Applichi $L$ ai vettori della base $B$, ottenendo:

$ T( ( 2 ),( 0 ) )=( ( 6 ),( 6 ) ) $

che sono le componenti del vettore immagine riferite alla base canonica. Non ti rimane altro che trovare le relative compinenti rispetto la base data:

$ a( ( 2 ),( 0 ) )+b( ( 0 ),( 3 ) )=( ( 6 ),( 6 ) ) $

Mettendo a sistema, ottieni le componenti $( ( 3 ),( 2 ) )$
stessa cosa la fai per l'altro vettore della base:

$ T( ( 0 ),( 3 ) )=( ( 6 ),( 12 ) ) rArr a( ( 2 ),( 0 ) )+b( ( 0 ),( 3 ) )=( ( 6 ),( 12 ) ) rArr ( ( 3 ),( 4 ) )$

ed ecco la matrice associata a $L$ rispetto alla base $B$:

$M= ( ( 3 , 3 ),( 2 , 4 ) ) $

Un altro modo più veloce, consiste nel fare subito un cambio di base:
la matrice del cambio di base da $C$ ($C$ base canonica in $RR^2$) a $B$ non è altro che la matrice formata dalle componenti della base $B$:

$ M_(CB)=( ( 2 , 0 ),( 0 , 3 ) ) $

la matrice che ti porta dalla base $B$ alla base $C$ non è altro che la sua inversa:

$ M_(BC)=M_(CB)^-1=( ( 1/2 , 0 ),( 0 , 1/3 ) ) $

da cui:
$ M=M_(CB)^-1LM_(BC)=( ( 1/2 , 0 ),( 0 , 1/3 ) )( ( 3 , 2 ),( 3 , 4 ) ) ( ( 2 , 0 ),( 0 , 3 ) ) =( ( 3 , 3 ),( 2 , 4 ) )$

Spero di essermi spiegato bene.

.BRN

[A.l.e.c.s]

Grazie per la risposta...ottima spiegazione..