Applicazioni lineari, inverse, composizioni
Ciao a tutti! Propongo tre esercizietti relativamente semplici con i miei svolgimenti! 
i)Sia \(\displaystyle L:V\rightarrow U \) dove \(\displaystyle \dim V > \dim U \) un'applicazione lineare. Mostrare che il nucleo di $L$ è non banale.
Allora, direi che il succo di questa dimostrazione si basa sulla relazione \(\displaystyle \dim V=\dim \Im L+\dim \ker L \). Si ha \(\displaystyle \dim \ker L > \dim U -\dim \Im L \); devo quindi far vedere che \(\displaystyle \dim U - \dim \Im L \ge 0 \), ovvero che \(\displaystyle \dim U \ge \dim \Im L \). Ma questo è sempre vero: l'immagine di un'applicazione è per definizione contenuta nel codominio. Segue \(\displaystyle \dim \ker L > 0 \), ovvero il nucleo è sempre non banale.
ii) Sia \(\displaystyle L:V\rightarrow U \) con \(\displaystyle \dim V=\dim U \) un'applicazione lineare con nucleo banale. Mostrare che \(\displaystyle L \) è invertibile e ha inversa lineare.
Siccome l'applicazione ha nucleo banale, è iniettiva; la suriettività segue dal fatto che \[\displaystyle \dim V=\dim \Im L+\dim \ker L=\dim \Im L=\dim U \] Di conseguenza $L$ è invertibile; mostriamo quindi che $L^-1$ è lineare.
Se \(\displaystyle \mathbf{u}_1,\mathbf{u}_2\in U \) e \(\displaystyle \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2 \) tali che \(\displaystyle \mathbf{v}_1=L^{-1}(\mathbf{u}_1), \mathbf{v}_2=L^{-1}(\mathbf{u}_2) \), per definizione \(\displaystyle L(\mathbf{v}_1)=\mathbf{u}_1, L(\mathbf{v}_2)=\mathbf{u}_2 \), da cui \(\displaystyle L(\mathbf{v}_1+\mathbf{v}_2)=L(\mathbf{v}_1)+L(\mathbf{v}_2)=\mathbf{u}_1+\mathbf{u}_2 \), ovvero \(\displaystyle \mathbf{v}_1+\mathbf{v}_2=L^{-1}(\mathbf{u}_1+\mathbf{u}_2) \).
Si ha poi che se \(\displaystyle \mathbf{v} \) è tale che \(\displaystyle L(\mathbf{v})=\mathbf{u} \), \(\displaystyle L(\alpha\mathbf{v})=\alpha L(\mathbf{v})=\alpha \mathbf{u} \) da cui \(\displaystyle L^{-1}(\alpha \mathbf{u})=\alpha\mathbf{v}=\alpha L^{-1}(\mathbf{u}) \).
iii) Siano \(\displaystyle L, M \) due operatori lineari invertibili. Mostrare che \(\displaystyle (L\circ M)^{-1}=M^{-1}\circ L^{-1} \).
Allora, voglio far vedere che componendo \(\displaystyle M^{-1} \circ L^{-1} \) e \(\displaystyle L \circ M \) ottengo l'identità. Infatti rimescolando le parentesi (sfruttando l'associatività della composizione): \[\displaystyle (L\circ M) \circ (M^{-1} \circ L^{-1})=L\circ (M\circ M^{-1}) \circ L^{-1}=L\circ \text{id}_V \circ L^{-1}=L\circ L^{-1}=\text{id}_V \] Se ho commesso errori fatemelo sapere! Ciao!
i)Sia \(\displaystyle L:V\rightarrow U \) dove \(\displaystyle \dim V > \dim U \) un'applicazione lineare. Mostrare che il nucleo di $L$ è non banale.
Allora, direi che il succo di questa dimostrazione si basa sulla relazione \(\displaystyle \dim V=\dim \Im L+\dim \ker L \). Si ha \(\displaystyle \dim \ker L > \dim U -\dim \Im L \); devo quindi far vedere che \(\displaystyle \dim U - \dim \Im L \ge 0 \), ovvero che \(\displaystyle \dim U \ge \dim \Im L \). Ma questo è sempre vero: l'immagine di un'applicazione è per definizione contenuta nel codominio. Segue \(\displaystyle \dim \ker L > 0 \), ovvero il nucleo è sempre non banale.
ii) Sia \(\displaystyle L:V\rightarrow U \) con \(\displaystyle \dim V=\dim U \) un'applicazione lineare con nucleo banale. Mostrare che \(\displaystyle L \) è invertibile e ha inversa lineare.
Siccome l'applicazione ha nucleo banale, è iniettiva; la suriettività segue dal fatto che \[\displaystyle \dim V=\dim \Im L+\dim \ker L=\dim \Im L=\dim U \] Di conseguenza $L$ è invertibile; mostriamo quindi che $L^-1$ è lineare.
Se \(\displaystyle \mathbf{u}_1,\mathbf{u}_2\in U \) e \(\displaystyle \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2 \) tali che \(\displaystyle \mathbf{v}_1=L^{-1}(\mathbf{u}_1), \mathbf{v}_2=L^{-1}(\mathbf{u}_2) \), per definizione \(\displaystyle L(\mathbf{v}_1)=\mathbf{u}_1, L(\mathbf{v}_2)=\mathbf{u}_2 \), da cui \(\displaystyle L(\mathbf{v}_1+\mathbf{v}_2)=L(\mathbf{v}_1)+L(\mathbf{v}_2)=\mathbf{u}_1+\mathbf{u}_2 \), ovvero \(\displaystyle \mathbf{v}_1+\mathbf{v}_2=L^{-1}(\mathbf{u}_1+\mathbf{u}_2) \).
Si ha poi che se \(\displaystyle \mathbf{v} \) è tale che \(\displaystyle L(\mathbf{v})=\mathbf{u} \), \(\displaystyle L(\alpha\mathbf{v})=\alpha L(\mathbf{v})=\alpha \mathbf{u} \) da cui \(\displaystyle L^{-1}(\alpha \mathbf{u})=\alpha\mathbf{v}=\alpha L^{-1}(\mathbf{u}) \).
iii) Siano \(\displaystyle L, M \) due operatori lineari invertibili. Mostrare che \(\displaystyle (L\circ M)^{-1}=M^{-1}\circ L^{-1} \).
Allora, voglio far vedere che componendo \(\displaystyle M^{-1} \circ L^{-1} \) e \(\displaystyle L \circ M \) ottengo l'identità. Infatti rimescolando le parentesi (sfruttando l'associatività della composizione): \[\displaystyle (L\circ M) \circ (M^{-1} \circ L^{-1})=L\circ (M\circ M^{-1}) \circ L^{-1}=L\circ \text{id}_V \circ L^{-1}=L\circ L^{-1}=\text{id}_V \] Se ho commesso errori fatemelo sapere! Ciao!
Risposte
Si è corretto.
Per curiosità personale ti aggiungo una cosa sul punto tre.
Per curiosità personale ti aggiungo una cosa sul punto tre.
Perfetto! Mi leggo con calma il tuo spoiler adesso
Anche se poi devi fare gli stessi conti, devi mostrare che anche $(M^-1°L^-1)°(L°M)=id_V$
(Non so fare il composto!)
(Non so fare il composto!)
Non hai torto Cantor! Li ho fatti ma non li ho postati, essendo praticamente identici. Comunque grazie per l'intervento!
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