Applicazioni lineari inverse

[maria.mosca2898]

Sia V uno spazio vettoriale su Q e siano V = {v1,...,v5} e V*= {v*1,...,v*5} una base di V e la rispettiva base duale di V*.
Dati w = v1 −2v2 +v4 +2v5 e v* = v*2 +2v*3 −v*4 +v*5, si dica se l’applicazione lineare φ = idV − w ⊗ v* `e invertibile e si determini eventualmente la matrice (αV,V)((φ−1)).
Nella soluzione compare φ−1 = idv +[(1/(1 - v*⊗w))w ⊗ v∗], come posso ricavarla?

[killing_buddha]

Devi fare il prodotto colonne - righe
\[
\left(\begin{smallmatrix}
1\\-2\\0\\1\\2
\end{smallmatrix}\right)
\left(\begin{smallmatrix}
0 & 1 & 2 & -1 & 1
\end{smallmatrix}\right)
\] questo ti darà una matrice $A$ con cui poi fare i conti. Ricorda poi che $1-A$ è invertibile se \(\|A\|\le 1\).

FYI, viene
\[
\left(
\begin{array}{ccccc}
0 & 1 & 2 & -1 & 1 \\
0 & -2 & -4 & 2 & -2 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 2 & -1 & 1 \\
0 & 2 & 4 & -2 & 2 \\
\end{array}
\right)
\]

[maria.mosca2898]

Si ma per calcolare l'inversa devo sempre trovare prima il detA, poi la matrice dei complementi algebrici di A e fare il prodotto tra (1/detA) e la matrice dei complementi algebrici, giusto? Cioè non ci sono altri metodi

[killing_buddha]

In generale, ovunque questo abbia senso,
\[
(1-A)^{-1} = \sum_{k=0}^\infty A^k
\] del resto mi sa che quella serie non converge. Quindi sì, mi sembra che la via più saggia sia fare un determinante 5x5; c'è di peggio nella vita (anche perché è possibile che con operazioni di scambio righe/colonne diventi un determinante abbastanza semplice).