Applicazioni lineari iniettive e generatori
Salve a tutti, volevo chiedere aiuto con due quesiti di algebra relativi alle applicazioni lineari che non riesco a risolvere. Si chiede di indicare se queste affermazioni sono vere o false e di darne una motivazione precisa senza ricorrere semplicemente a un teorema studiato.
1) Un'applicazione lineare iniettiva f:R^3 -> R^3 manda rette per l'origine in rette per l'origine.
2) Siano u, v e w vettori in V. Sia T: V -> W applicazione lineare. Se T(u), T(v) e T(w) sono generatori di W, allora u v e w sono generatori di V.
Per quando riguarda il primo quesito, suppongo che quest'applicazione lineare per fare ciò debba "conservare la posizione" di questa retta, nel senso che non deve farla traslare, di conseguenza mi è venuto in mente che l'applicazione potrebbe operare una rotazione, ma onestamente non riesco a scrivere un'applicazione che faccia questo. Il fatto che sia iniettiva significa che il nucleo di essa è nullo, e quindi nessun vettore è "mandato nello zero", ma anche questo non mi aiuta. Mi pare di aver letto che questi discorsi siano legati alle isometrie, ma durante le lezioni non sono state trattate dunque non so come risolvere il problema.
Per il secondo quesito, io so che se un'applicazione è isomorfismo allora si verifica la condizione chiesta, ma lo so perchè era una proprietà degli isomorfismi vista a lezione senza dimostrazione. Inoltre, non essendo specificato che l'applicazione sia isomorfismo ciò non mi aiuta minimamente.
Spero che qualcuno di voi possa darmi una mano, e ringrazio anticipatamente per l'aiuto, confidando nel fatto che qualcuno risponderà
Saluti 
1) Un'applicazione lineare iniettiva f:R^3 -> R^3 manda rette per l'origine in rette per l'origine.
2) Siano u, v e w vettori in V. Sia T: V -> W applicazione lineare. Se T(u), T(v) e T(w) sono generatori di W, allora u v e w sono generatori di V.
Per quando riguarda il primo quesito, suppongo che quest'applicazione lineare per fare ciò debba "conservare la posizione" di questa retta, nel senso che non deve farla traslare, di conseguenza mi è venuto in mente che l'applicazione potrebbe operare una rotazione, ma onestamente non riesco a scrivere un'applicazione che faccia questo. Il fatto che sia iniettiva significa che il nucleo di essa è nullo, e quindi nessun vettore è "mandato nello zero", ma anche questo non mi aiuta. Mi pare di aver letto che questi discorsi siano legati alle isometrie, ma durante le lezioni non sono state trattate dunque non so come risolvere il problema.
Per il secondo quesito, io so che se un'applicazione è isomorfismo allora si verifica la condizione chiesta, ma lo so perchè era una proprietà degli isomorfismi vista a lezione senza dimostrazione. Inoltre, non essendo specificato che l'applicazione sia isomorfismo ciò non mi aiuta minimamente.
Spero che qualcuno di voi possa darmi una mano, e ringrazio anticipatamente per l'aiuto, confidando nel fatto che qualcuno risponderà
Saluti
Risposte
Benvenuta Victoria
Una generica applicazione lineare tra spazi vettoriali trasforma sottospazi in sottospazi.
Ma in particolare f è un monomorfismo se e solo se trasforma sottospazi in sottospazi della stessa dimensione
allora ogni retta vettoriale è trasformata in retta vettoriale.
Dato che il vettore nullo è in ogni sottospazio, direi vero il primo quesito.
Per il secondo quesito non sono poste condizioni sui sotto spazi e pertanto direi falso.
I vettori u, v, w possono generare un sottospazio proprio di V.
Pensa alla applicazione lineare da R^5 nel vettore nullo (spazio vettoriale banale).
Ciao
Mino
Una generica applicazione lineare tra spazi vettoriali trasforma sottospazi in sottospazi.
Ma in particolare f è un monomorfismo se e solo se trasforma sottospazi in sottospazi della stessa dimensione
allora ogni retta vettoriale è trasformata in retta vettoriale.
Dato che il vettore nullo è in ogni sottospazio, direi vero il primo quesito.
Per il secondo quesito non sono poste condizioni sui sotto spazi e pertanto direi falso.
I vettori u, v, w possono generare un sottospazio proprio di V.
Pensa alla applicazione lineare da R^5 nel vettore nullo (spazio vettoriale banale).
Ciao
Mino
Grazie della risposta Mino 
Ho pensato meglio ai quesiti e potrei dire che il primo è vero perchè una retta per l'origine è un sottospazio di dimensione 1 di R^3; l'applicazione è iniettiva, dunque nessun vettore viene mandato nello zero, di conseguenza la retta non può che essere mandata in se stessa dato che andiamo da R^3 a R^3. Mi rendo conto però che è un ragionamento intuitivo e che formalmente potrebbe non essere corretto o espresso nel modo giusto, dunque mi farebbe piacere se qualcuno potesse aiutarmi ad esprimerlo in modo più formale.
Riguardo al secondo quesito, non so ancora bene se dire vero o falso, dato che ho pensato che W=Span{T(v), T(u), T(w)} ma questi elementi appartengono anche all'Im(T) che è sottospazio vettoriale di V. Giusto? E allora si potrebbe dire che in qualche modo T(u), T(v) e T(w) sono "combinazione lineare" (anche se ciò non suona tanto giusto visto che stiamo applicando una funzione) di u, v e w e allora u v e w devono generare V?
Aspetto qualche altra risposta che possa chiarire la mia confusione, grazie anticipatamente
Ho pensato meglio ai quesiti e potrei dire che il primo è vero perchè una retta per l'origine è un sottospazio di dimensione 1 di R^3; l'applicazione è iniettiva, dunque nessun vettore viene mandato nello zero, di conseguenza la retta non può che essere mandata in se stessa dato che andiamo da R^3 a R^3. Mi rendo conto però che è un ragionamento intuitivo e che formalmente potrebbe non essere corretto o espresso nel modo giusto, dunque mi farebbe piacere se qualcuno potesse aiutarmi ad esprimerlo in modo più formale.
Riguardo al secondo quesito, non so ancora bene se dire vero o falso, dato che ho pensato che W=Span{T(v), T(u), T(w)} ma questi elementi appartengono anche all'Im(T) che è sottospazio vettoriale di V. Giusto? E allora si potrebbe dire che in qualche modo T(u), T(v) e T(w) sono "combinazione lineare" (anche se ciò non suona tanto giusto visto che stiamo applicando una funzione) di u, v e w e allora u v e w devono generare V?
Aspetto qualche altra risposta che possa chiarire la mia confusione, grazie anticipatamente
Ciao Victoria
non è necessario ringraziare.
Osserva che ogni applicazione lineare manda il vettore nullo nel vettore nullo perché è:
per la linearità
$ T(x+0)=T(x)+T(0)=T(x) $
e sommando al secondo e al terzo membro il vettore $-T(x)$ hai quanto ti ho detto.
Io rivedrei il ragionamento per il primo quesito.
Per il secondo è vero im(T) è uno spazio vettoriale ma non è detto che sia di V.
.....
non è necessario ringraziare.
Osserva che ogni applicazione lineare manda il vettore nullo nel vettore nullo perché è:
per la linearità
$ T(x+0)=T(x)+T(0)=T(x) $
e sommando al secondo e al terzo membro il vettore $-T(x)$ hai quanto ti ho detto.
Io rivedrei il ragionamento per il primo quesito.
Per il secondo è vero im(T) è uno spazio vettoriale ma non è detto che sia di V.
.....
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