Applicazioni lineari iniettive

[cortex96]

Data un'applicazione lineare T : M2;3(R) -> R6, è vero che se T e iniettiva, allora e anche suriettiva?

E' giusto dire che se rgT=6, allora T è sia iniettiva che suriettiva?

[Kashaman]

Se $V,W$ sono due $\mathbb{K}$-spazi vettoriali e $f:V->W$ è lineare.
Denotato con $Kerf={ x \in V | f(x)=0}$ e $Imf={f(x) | x \in V}$ rispettivamente il nucleo e l'immagine nel nostro omomorfimo lineare, si prova che sia il nucleo che l'immagine sono spazi vettoriali su $K$.
In particolare, se $dimV=n, dimImf=m$ vale anche la relazione $dimImf=dimV-dimKerf$.
Sai pure che due spazi vettoriali finitamente generati sono isomorfi se e solo se hanno la stessa dimensione.
Una mappa lineare è iniettiva se e solo se ha nucleo banale, suriettiva se e solo se$imf$ coincide con tutto lo spazio d'arrivo.
Nel nostro caso,
$\mathbb{RR^6}={(x,y,z,a,b,c) |a,b,c,x,y,z \in RR} $ ha dimensione 6, una base è data dalle 6enuple $e_j$ che han termine in j 1 e il resto tutti zero.
Così pure l'altro spazio. ( Chi è una base per $M_{2,3}(RR)$ ? )
Quindi se la nostra mappa è suriettiva, abbiamo che $dimImf = dimM_{2,3}(RR)=dimRR^6-dimKerf => dimKerf=0 <=> Kerf={0}$ quindi è iniettiva. Analogamente si mostra l'altra tesi.

Per esercizio potresti provare questo fatto generale:

Siano $V,W$ due $\mathbb{K}$ spazi. V,W finitamente generati e tali che $dimV=dimW$
$f: V -> W$ lineare iniettiva se e solo se è suriettiva.

[cortex96]

Grazie mille per le tue risposte!