Applicazioni lineari - Immagini e nuclei

[whatyouhide]

Salve,
come si risolvono esercizi del tipo qui sotto?

a) Costruire, se possibile, un'applicazione lineare $ F:RR^3rarr RR^3 $ la cui immagine sia generata dai vettori $ ( ( 1 ),( 2 ),( 3 ) ) $ e $ ( ( 4 ),( 5 ),( 6 ) ) $ .

b) Costruire, se possibile, un'applicazione lineare $ F:RR^4rarr RR^3 $ il cui nucleo sia generato dai vettori $ u_1=( ( 1 ),( 2 ),( 0 ),( 0 ) ) $ , $ u_2=( ( 1 ),( -1 ),( 0 ),( 0 ) ) $ e la cui immagine sia generata dai vettori $ v_1=( ( 1 ),( 7 ),( 9 ) ) $ e $ v_2=( ( pi ),( 3 ),( 5 ) ) $

Grazie mille.

[Lorin1]

C'è bisogno di un tuo sforzo...
cerca in qualche modo di buttare giù qualche idea su come poter risolvere l'esercizio!

[whatyouhide]

Nel primo esercizio, essendo i due vettori linearmente indipendenti, se generano l'immagine di F sono anche una base di questa immagine... La cosa su cui mi blocco non è tanto come o quale applicazione costruire, ma su come sia possibile determinare se la posso costruire oppure no.

Sono troppo stanco per arrivarci e l'esame è vicino

[Lorin1]

Di solito si applica il teorema di esistenza ed unicità delle applicazioni lineari...che ti fornisce anche un metodo per costruire proprio l'applicazione!

[whatyouhide]

Trovato il teorema... Quindi io dico che essendo $ RR^3 $ uno spazio vettoriale esiste un'applicazione lineare unica tale che se scelgo una base $ B={b_1,...,b_n} $ di $ RR^3 $ e un elemento v del dominio, che può essere scritto come $ v=lambda_1b_1+...+lambda_nb_n $ , allora l'immagine di questo elemento è $ f(v)=lambda_1( ( 1 ),( 2 ),( 3 ) )+lambda_2( ( 4 ),( 5 ),( 6 ) ) $ ?

[Seneca1]

"whatyouhide":Trovato il teorema... Quindi io dico che essendo $ RR^3 $ uno spazio vettoriale esiste un'applicazione lineare unica tale che se scelgo una base $ B={b_1,...,b_n} $ di $ RR^3 $ e un elemento v del dominio, che può essere scritto come $ v=lambda_1b_1+...+lambda_nb_n $ , allora l'immagine di questo elemento è $ f(v)=lambda_1( ( 1 ),( 2 ),( 3 ) )+lambda_2( ( 4 ),( 5 ),( 6 ) ) $ ?

Per definire la $f$ usando il teorema che ti ha fatto presente Lorin hai bisogno di tre vettori di $RR^3$ in cui mandare i vettori della base $B$... Per questioni dimensionali l'applicazione cercata non potrà essere iniettiva.

Quindi se $e_1 , e_2 , e_3$ è la base standard di $RR^3$, definisci:

$f(e_1) = (1 , 2 , 3)$

$f(e_2) = (1 , 2 , 3 )$

e $f(e_3) = (4 , 5 , 6 )$

Allora sia $w in Im(f)$. $EE v in V : f(v) = w$.

$w = f(v) = f( x_1 e_1 + x_2 e_2 + x_3 e_3 ) = x_1 f(e_1) + x_2 f(e_2) + x_3 f(e_3) = ( x_1 + x_2 ) (1 , 2 , 3) + x_3 (4 , 5 , 6)$

Quindi hai l'applicazione desiderata.