Applicazioni lineari esercizio
salve ho un problema con questo esercizio da risolvere mi servire una mano per trovare la giusta strada .
vorrei capire come ragionare con la domanda iniziale per rispondere a le altre domande.
Sia $f$ un operatore lineare su $RR^3$ tale che \(f(1,-1,1) = f(2,-2,2)\). Allora:
A. \( f (1,-1,1) = f(3,-3,3)\),
B. \( f \) non può essere diagonalizzabile
penso che la A sia falsa in quanto \( f(kv)= k f(v)\), in questa caso è \( f(v) = 3 f(v)\)
vorrei capire come ragionare con la domanda iniziale per rispondere a le altre domande.
Sia $f$ un operatore lineare su $RR^3$ tale che \(f(1,-1,1) = f(2,-2,2)\). Allora:
A. \( f (1,-1,1) = f(3,-3,3)\),
B. \( f \) non può essere diagonalizzabile
penso che la A sia falsa in quanto \( f(kv)= k f(v)\), in questa caso è \( f(v) = 3 f(v)\)
Risposte
In realtà con le proprietà richieste nel testo dell'esercizio puoi calcolare $f(1,-1,1)$: quanto vale?
"gugo82":
In realtà con le proprietà richieste nel testo dell'esercizio puoi calcolare $f(1,-1,1)$: quanto vale?
Ciao gugo82 grazie per la risposta. io avevo pensato ad una soluzione del tipo che mi sembra giusta
ho pensato di esplicitare la funzione imponendo una base di partenza facendo un completamento della base
B'={v1=(1,-1,1), v2=(1,0,0), v3=(0,1,0)}, verificando sono linearmente indipendenti.
esplicito l'applicazione lineare:
\( \begin{cases} a=x \\ -a+b=y \\ a+c=z \end{cases} \) \( \Rightarrow \) \( \begin{cases} a=x \\ b=y+x \\ c=z-x \end{cases} \)
\( x(2,-2,2)+(x+y)(1,0,0)+(-x+z)(0,1,0)= \)
\( f(x,y,z)=(2x,-x+y,x+z) \)
quindi abbiamo \( \Rightarrow \) \( f(1,-1,1)=f(2,-2,2) \)
Non ho letto il discorso perché è essenzialmente inutile: alla fine della fiera "dimostri" l'ipotesi, ossia è un ragionamento circolare.
Quello che ti chiedevo è: usando la linearità e l'ipotesi $f(1,-1,1) = f(2,-2,2)$, puoi calcolare quanto vale "numericamente" il vettore $f(1,-1,1)$?
Quello che ti chiedevo è: usando la linearità e l'ipotesi $f(1,-1,1) = f(2,-2,2)$, puoi calcolare quanto vale "numericamente" il vettore $f(1,-1,1)$?
sinceramente l'unica cosa che mi viene in mente è questa applicare la proprietà di linearità:
\( f(kv)=kf(v) \) per ogni v \( \in \ R ^n
\) e \( \in \) \( k \) \( \ R ^n
\)
ti chiedo se per cortesia mi puoi aiutare a capire come fare grazie
\( f(kv)=kf(v) \) per ogni v \( \in \ R ^n
\) e \( \in \) \( k \) \( \ R ^n
\)
ti chiedo se per cortesia mi puoi aiutare a capire come fare grazie
[ot]
\( \mathbb R ^n\)
"costa_pisti":
\( \Re ^n \)
\( \mathbb R ^n\)
\( \mathbb R ^n\)[/ot]
"Magma":
[ot][quote="costa_pisti"] \( \Re ^n \)
\( \mathbb R ^n\)
\( \mathbb R ^n\)[/ot][/quote]
grazie!!
"costa_pisti":
sinceramente l'unica cosa che mi viene in mente è questa applicare la proprietà di linearità:
\( f(kv)=kf(v) \) per ogni v \( \in \ R ^n
\) e \( \in \) \( k \) \( \ R ^n
\)
ti chiedo se per cortesia mi puoi aiutare a capire come fare grazie
E applicala!
$(2,-2,2)=2(1,-1,1)$
Quindi..?
grazie per l'intervento quindi per rispondere a quanto valeva numericamente il vettore \( f(1,-1,1) \) vale (2,-2,2)
No.
Dato che $(2,-2,2)=2(1,-1,1) => f(2,-2,2)=2f(1,-1,1)$, cosa viene fuori infilando questa informazione nell'ipotesi $f(1,-1,1)=f(2,-2,2)$?
Dato che $(2,-2,2)=2(1,-1,1) => f(2,-2,2)=2f(1,-1,1)$, cosa viene fuori infilando questa informazione nell'ipotesi $f(1,-1,1)=f(2,-2,2)$?
allora secondo me viene fuori che \( f(1,-1,1)=f(2,-2,2) \) è suriettiva non può essere iniettiva dato
che \( f(1,-1,1)-f(2,-2,2)=(-1,1,-1) \) quindi è \( \neq (0,0,0) \) la dim ker di \( f> 0 \)
che \( f(1,-1,1)-f(2,-2,2)=(-1,1,-1) \) quindi è \( \neq (0,0,0) \) la dim ker di \( f> 0 \)
Giusto ma complicato.
L'ipotesi afferma che $f(v)=2f(v)$ questo è vero se e soltanto se $f(v)={0}$ pertanto v appartiene al kernel dell'applicazione. Quindi la A è vera e la B è falsa ( perché?)
L'ipotesi afferma che $f(v)=2f(v)$ questo è vero se e soltanto se $f(v)={0}$ pertanto v appartiene al kernel dell'applicazione. Quindi la A è vera e la B è falsa ( perché?)
"costa_pisti":
allora secondo me viene fuori che \( f(1,-1,1)=f(2,-2,2) \) è suriettiva non può essere iniettiva dato
che \( f(1,-1,1)-f(2,-2,2)=(-1,1,-1) \) quindi è \( \neq (0,0,0) \) la dim ker di \( f> 0 \)
Converrai con me che un'attenta analisi logica mostra che ciò che hai scritto non significa nulla, vero?
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